問題2: 与えられた $\theta$ の値に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。 問題3: (1) $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ であり、$\sin \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (2) $\theta$ の動径が第2象限にあり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。 (3) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、 (i) $\sin \theta \cos \theta$ の値を求める。 (ii) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。 問題4: 関数 $y = 3\cos(4\theta - 3\pi)$ のグラフについて、以下の問いに答える。 (ア) $y = \cos 4\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向にどれだけ平行移動したか。 (イ) $y$ 軸方向に何倍に拡大したか。 (ウ) この関数の周期はいくらか。 問題5: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。また、$\theta$ の範囲に制限がないときの解も求める。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\tan \theta = -1$

1. 問題の内容

問題2: 与えられた $\theta$ の値に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。

問題3:

(1) $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ であり、$\sin \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(2) $\theta$ の動径が第2象限にあり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

(3) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、

(i) $\sin \theta \cos \theta$ の値を求める。

(ii) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。

問題4: 関数 $y = 3\cos(4\theta - 3\pi)$ のグラフについて、以下の問いに答える。

(ア) $y = \cos 4\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向にどれだけ平行移動したか。

(イ) $y$ 軸方向に何倍に拡大したか。

(ウ) この関数の周期はいくらか。

問題5: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。また、$\theta$ の範囲に制限がないときの解も求める。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\tan \theta = -1$

2. 解き方の手順

問題2:

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ のとき

- $\sin \theta = \sin \frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\cos \theta = \cos \frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\tan \theta = \tan \frac{5}{4}\pi = 1$

(2) $\theta = -\frac{7}{6}\pi$ のとき

- $\sin \theta = \sin (-\frac{7}{6}\pi) = \frac{1}{2}$

- $\cos \theta = \cos (-\frac{7}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\tan \theta = \tan (-\frac{7}{6}\pi) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\theta = \frac{13}{3}\pi = 4\pi + \frac{\pi}{3}$ のとき

- $\sin \theta = \sin \frac{13}{3}\pi = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\cos \theta = \cos \frac{13}{3}\pi = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

- $\tan \theta = \tan \frac{13}{3}\pi = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

問題3:

(1) $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ なので、$\theta$ は第3象限の角。$\sin \theta = -\frac{1}{3}$

- $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

- $\cos \theta = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ （第3象限なので負）

- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $\theta$ が第2象限にあり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$

- $\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (-\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

- $\cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ （第2象限なので負）

- $\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-\frac{1}{2})(-\frac{2\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(i) $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

- $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

- $1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$

- $2\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}$

- $\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$

(ii) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

- $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{\sqrt{2}}{2})(1 - (-\frac{1}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{5}{4}) = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

問題4:

$y = 3\cos(4\theta - 3\pi) = 3\cos(4(\theta - \frac{3\pi}{4}))$

- $y = \cos 4\theta$ を $\theta$ 軸方向に $\frac{3\pi}{4}$ だけ平行移動。

- $y$ 軸方向に 3 倍に拡大。

- 周期: $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

問題5:

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

- $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

- 制限がないとき、$\theta = \frac{\pi}{4} + 2n\pi, \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

(2) $\tan \theta = -1$

- $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

- 制限がないとき、$\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ ($n$ は整数)

3. 最終的な答え

問題2:

(1) $\sin \frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan \frac{5}{4}\pi = 1$

(2) $\sin (-\frac{7}{6}\pi) = \frac{1}{2}$, $\cos (-\frac{7}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan (-\frac{7}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\sin \frac{13}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{13}{3}\pi = \frac{1}{2}$, $\tan \frac{13}{3}\pi = \sqrt{3}$

問題3:

(1) $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) (i) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$ (ii) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

問題4:

(ア) $\frac{3\pi}{4}$ (イ) 3 (ウ) $\frac{\pi}{2}$

問題5:

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ または $\theta = \frac{\pi}{4} + 2n\pi, \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

(2) $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ または $\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ ($n$ は整数)