定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$ の不定積分を求めます。

$\sin x$ の不定積分は $-\cos x$ です。

したがって、

$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$

次に、定積分の定義に従って、積分の上端と下端における $-\cos x$ の値を計算し、その差を求めます。

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \left(-\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$$

$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$$-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$

3. 最終的な答え

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