定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + x - 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + x - 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ の不定積分 $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int (x^3 - 3x^2 + x - 1) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分の定義に従い、$F(1) - F(-1)$ を計算します。

$F(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - (1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{5}{4}$

$F(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 - (-1) = \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} + \frac{4}{4} = \frac{11}{4}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + x - 1) dx = F(1) - F(-1) = -\frac{5}{4} - \frac{11}{4} = -\frac{16}{4} = -4$

3. 最終的な答え

-4