$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ で表される曲線 $C$ が点 $(2,0)$ で $x$ 軸に接するとき、以下の問題を解きます。 (1) $p$ と $q$ の値を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ の極大値を求めます。 (3) 点 $(2,0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とします。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ で表される曲線 $C$ が点 $(2,0)$ で $x$ 軸に接するとき、以下の問題を解きます。

(1) $p$ と $q$ の値を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ の極大値を求めます。

(3) 点 $(2,0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とします。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + px^2 + qx$

$f(2) = 8 + 4p + 2q = 0$ (1)

$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$

$f'(2) = 12 + 4p + q = 0$ (2)

(1) より $4p + 2q = -8$ すなわち $2p + q = -4$

(2) より $4p + q = -12$

この連立方程式を解くと、

$2p = -8$ よって $p = -4$

$q = -4 - 2p = -4 - 2(-4) = 4$

したがって、$p = -4$, $q = 4$

(2) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = (3x-2)(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{2}{3}, 2$

増減表を作ると

$x$ | ... | $\frac{2}{3}$ | ... | $2$ | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$

$f(x)$ | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加

$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8 - 48 + 72}{27} = \frac{32}{27}$

よって、極大値は $\frac{32}{27}$

(3) 接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線は

$y - f(t) = f'(t)(x-t)$

$y = (3t^2 - 8t + 4)(x-t) + (t^3 - 4t^2 + 4t)$

$y = (3t^2 - 8t + 4)x - 3t^3 + 8t^2 - 4t + t^3 - 4t^2 + 4t$

$y = (3t^2 - 8t + 4)x - 2t^3 + 4t^2$

この直線が $(2,0)$ を通るので

$0 = (3t^2 - 8t + 4)(2) - 2t^3 + 4t^2$

$0 = 6t^2 - 16t + 8 - 2t^3 + 4t^2$

$0 = -2t^3 + 10t^2 - 16t + 8$

$0 = t^3 - 5t^2 + 8t - 4$

$0 = (t-1)(t^2 - 4t + 4)$

$0 = (t-1)(t-2)^2$

$t = 1, 2$

$t=1$ のとき、接線は $y = (3-8+4)x - 2 + 4 = -x + 2$

$t=2$ のとき、接線は $y = 0$

傾きが負なので、$t=1$ のとき $y = -x + 2$

$x^3 - 4x^2 + 4x = -x + 2$

$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0$

$(x-1)(x^2 - 3x + 2) = 0$

$(x-1)(x-1)(x-2) = 0$

$(x-1)^2(x-2) = 0$

交点は $x = 1, 2$

求める面積 $S = \int_1^2 (x^3 - 4x^2 + 4x - (-x+2)) dx$

$S = \int_1^2 (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x]_1^2$

$S = (\frac{16}{4} - \frac{32}{3} + \frac{20}{2} - 4) - (\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - 2)$

$S = (4 - \frac{32}{3} + 10 - 4) - (\frac{3}{12} - \frac{16}{12} + \frac{30}{12} - \frac{24}{12})$

$S = 10 - \frac{32}{3} - (\frac{-7}{12})$

$S = \frac{30}{3} - \frac{32}{3} + \frac{7}{12}$

$S = -\frac{2}{3} + \frac{7}{12} = -\frac{8}{12} + \frac{7}{12} = -\frac{1}{12}$

計算間違い。$S$は面積なので負にならない。

$S = |-\frac{1}{12}| = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $p = -4$, $q = 4$

(2) $\frac{32}{27}$

(3) $\frac{1}{12}$