定積分 $\int_1^2 (x^3 - 4x^2 + 4x - (-x+2))dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^2 (x^3 - 4x^2 + 4x - (-x+2))dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$x^3 - 4x^2 + 4x - (-x + 2) = x^3 - 4x^2 + 4x + x - 2 = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$

次に、不定積分を計算します。

$\int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_1^2 (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x \right]_1^2$

$= \left( \frac{1}{4}(2^4) - \frac{4}{3}(2^3) + \frac{5}{2}(2^2) - 2(2) \right) - \left( \frac{1}{4}(1^4) - \frac{4}{3}(1^3) + \frac{5}{2}(1^2) - 2(1) \right)$

$= \left( \frac{16}{4} - \frac{32}{3} + \frac{20}{2} - 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - 2 \right)$

$= \left( 4 - \frac{32}{3} + 10 - 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - 2 \right)$

$= 10 - \frac{32}{3} - \frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2$

$= 12 - \frac{28}{3} - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}$

$= 12 - \frac{28}{3} - \frac{1}{4} - \frac{10}{4}$

$= 12 - \frac{28}{3} - \frac{11}{4}$

$= \frac{144}{12} - \frac{112}{12} - \frac{33}{12}$

$= \frac{144 - 112 - 33}{12}$

$= \frac{-1}{12}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{12}$