以下の4つの問題について、接線（接平面）と法線を求めます。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線と法線。 (2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ (ただし $Ap + Bq + Cr = D$) における接平面と法線。 (3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線。 (4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線。

1. 問題の内容

以下の4つの問題について、接線（接平面）と法線を求めます。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線と法線。

(2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ (ただし $Ap + Bq + Cr = D$) における接平面と法線。

(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線。

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線と法線。

陰関数表示 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ を用いる。

接線の傾きは、$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$。

点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ での傾きは、$-\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$。

接線の方程式は、$y - \frac{1}{2} = -\sqrt{3}(x - \frac{\sqrt{3}}{2})$ より、$y = -\sqrt{3}x + 2$。つまり、$\sqrt{3}x + y - 2 = 0$

法線の傾きは、$\frac{1}{\sqrt{3}}$。

法線の方程式は、$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \frac{\sqrt{3}}{2})$ より、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$。つまり、$x - \sqrt{3}y = 0$。

(2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ における接平面と法線。

平面上の点 $(p, q, r)$ における接平面は、元の平面自身である。

よって、接平面の方程式は $Ax + By + Cz = D$。

法線ベクトルは $(A, B, C)$。

法線の方程式は、$\frac{x - p}{A} = \frac{y - q}{B} = \frac{z - r}{C}$。

(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線。

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点を $(x_0, y_0)$ とする。接線の方程式は $x_0 x + y_0 y = 1$。

これが $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通るので、$x_0 \frac{\sqrt{3}}{3} + y_0 = 1$。つまり、$y_0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$。

また、$x_0^2 + y_0^2 = 1$ なので、$x_0^2 + (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}x_0)^2 = 1$。

$x_0^2 + 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}x_0 + \frac{1}{3}x_0^2 = 1$。

$\frac{4}{3}x_0^2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}x_0 = 0$。

$x_0 (\frac{4}{3}x_0 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) = 0$。

$x_0 = 0$ または $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$x_0 = 0$ のとき、$y_0 = 1$。接線は $y = 1$。法線は $x = 0$。

$x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y_0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。接線は $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 1$ つまり $\sqrt{3}x + y = 2$。法線は $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ つまり $x = \sqrt{3}y$。

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線。

$F(x, y, z) = xy - z = 0$ とする。

接平面の法線ベクトルは $(F_x, F_y, F_z) = (y, x, -1)$。

点 $(1, 1, 1)$ での法線ベクトルは $(1, 1, -1)$。

接平面の方程式は、$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$。

$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$ より $x + y - z = 1$。

法線の方程式は、$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$。

3. 最終的な答え

(1) 接線: $\sqrt{3}x + y = 2$, 法線: $x = \sqrt{3}y$

(2) 接平面: $Ax + By + Cz = D$, 法線: $\frac{x - p}{A} = \frac{y - q}{B} = \frac{z - r}{C}$

(3) 接線: $y=1$ と $\sqrt{3}x + y = 2$, 法線: $x=0$ と $x = \sqrt{3}y$

(4) 接平面: $x + y - z = 1$, 法線: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$