(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \le \sqrt{3}$ を解く。 (2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、方程式 $\sin \theta = \sin 7\theta$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \le \sqrt{3}$ を解く。

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、方程式 $\sin \theta = \sin 7\theta$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた不等式を変形する。三角関数の合成を用いる。

$\sin 2\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta = 2\sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$

したがって、不等式は

$2\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \le \sqrt{3}$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

ここで、$x = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$-\frac{\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} < 4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$

すなわち、$-\frac{\pi}{3} \le x < \frac{11\pi}{3}$

$\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解くと、

$-\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \le x < \frac{11\pi}{3}$

$x = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ を代入して、

$-\frac{\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3} \implies 0 \le 2\theta \le \frac{2\pi}{3} \implies 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{3} \implies \pi \le 2\theta \le \frac{8\pi}{3} \implies \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$

$\frac{8\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} < \frac{11\pi}{3} \implies 3\pi \le 2\theta < 4\pi \implies \frac{3\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

(2)

$\sin \theta = \sin 7\theta$ より、$\sin 7\theta - \sin \theta = 0$

和積の公式より、

$2\cos\left(\frac{7\theta + \theta}{2}\right)\sin\left(\frac{7\theta - \theta}{2}\right) = 0$

$2\cos(4\theta)\sin(3\theta) = 0$

したがって、$\cos(4\theta) = 0$ または $\sin(3\theta) = 0$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 4\theta \le 2\pi$

$\cos(4\theta) = 0$ を解くと、 $4\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 3\theta \le \frac{3\pi}{2}$

$\sin(3\theta) = 0$ を解くと、 $3\theta = 0, \pi \implies \theta = 0, \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

(2) $\theta = 0, \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{8}$