関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x$ について、x切片（y=0の値）、y切片（x=0の値）、極値を取るxの値、極大値と極小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x$ について、x切片（y=0の値）、y切片（x=0の値）、極値を取るxの値、極大値と極小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) x切片（y=0の値）を求める:

$f(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-x^3 + 3x^2 - 2x = 0$

$-x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$-x(x-1)(x-2) = 0$

よって、$x = 0, 1, 2$

(2) y切片（x=0の値）を求める:

$f(0)$ を計算する。

$f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2(0) = 0$

よって、$y = 0$

(3) 極値を求める:

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = -3x^2 + 6x - 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-3x^2 + 6x - 2 = 0$

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}$

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

$x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423$

$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.577$

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = -6x + 6$

$f''(x_1) = -6(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) + 6 = 2\sqrt{3} > 0$

$f''(x_2) = -6(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) + 6 = -2\sqrt{3} < 0$

よって、$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極小値をとり、$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極大値をとる。

極小値:

$f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = -(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^3 + 3(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 - 2(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

$= \frac{2\sqrt{3}}{9} - \frac{2}{3}$

極大値:

$f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = -(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^3 + 3(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^2 - 2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

$= \frac{2\sqrt{3}}{9} + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

x切片: $x = 0, 1, 2$

y切片: $y = 0$

極小値をとるxの値: $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

極小値: $\frac{2\sqrt{3}}{9} - \frac{2}{3}$

極大値をとるxの値: $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

極大値: $\frac{2\sqrt{3}}{9} + \frac{2}{3}$