$\int \sin^2(2x) dx$ を計算せよ。三角関数に関する公式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を利用する。

1. 問題の内容

$\int \sin^2(2x) dx$ を計算せよ。三角関数に関する公式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を利用する。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2(2x)$ に対して、三角関数の公式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を適用する。このとき、$\theta = 2x$ なので、

$$\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$$

となる。したがって、積分は

$$\int \sin^2(2x) dx = \int \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx$$

となる。積分を分解すると

$$\int \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos(4x) dx$$

$\int 1 dx = x + C_1$ であり、$\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4} \sin(4x) + C_2$ であるから、

$$\frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos(4x) dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \sin(4x) + C = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin(4x) + C$$

となる。

3. 最終的な答え

$\int \sin^2(2x) dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$