不定積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x-3}} dx$ を計算する問題です。$t = \sqrt{x-3}$ と置いて置換積分を行うことが指示されています。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x-3}} dx$ を計算する問題です。$t = \sqrt{x-3}$ と置いて置換積分を行うことが指示されています。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{x-3}$ と置きます。このとき、$x = t^2 + 3$ となります。

次に、$dx$ を $dt$ で表します。$x = t^2 + 3$ の両辺を $t$ で微分すると、$\frac{dx}{dt} = 2t$ となるので、$dx = 2t \, dt$ が得られます。

与えられた積分にこれらを代入すると、

$\int \frac{x}{\sqrt{x-3}} dx = \int \frac{t^2+3}{t} \cdot 2t \, dt$

$= \int 2(t^2 + 3) \, dt$

$= 2 \int (t^2 + 3) \, dt$

$= 2 (\frac{1}{3} t^3 + 3t) + C$

$= \frac{2}{3} t^3 + 6t + C$

ここで、$t = \sqrt{x-3}$ を代入して、$x$ の式に戻します。

$= \frac{2}{3} (\sqrt{x-3})^3 + 6\sqrt{x-3} + C$

$= \frac{2}{3} (x-3)^{3/2} + 6\sqrt{x-3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} (x-3)^{3/2} + 6\sqrt{x-3} + C$