与えられた積分 $\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を利用します。

$u = 1+x^2$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。したがって、$du = 2x dx$ となります。

元の積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ （$C$ は積分定数）

したがって、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C$

最後に、$u$ を $1+x^2$ に戻します。

$\frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C$

$1+x^2$ は常に正なので絶対値記号を外せます。

よって、$\frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$