以下の10個の不定積分を求める問題です。 (1) $\int x \sin 3x \, dx$ (2) $\int \arctan x \, dx$ (3) $\int x \log x \, dx$ (4) $\int e^x \sin 2x \, dx$ (5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$ (6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx$ (7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx$ (8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx$ (9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$ (10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

はい、承知いたしました。問題文に記載されている10個の不定積分を求めます。

1. 問題の内容

以下の10個の不定積分を求める問題です。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

(2) $\int \arctan x \, dx$

(3) $\int x \log x \, dx$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$

(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx$

(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx$

(8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

各積分を個別に解いていきます。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \sin 3x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$ です。

$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x - \int -\frac{1}{3} \cos 3x \, dx$

$= -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx$

$= -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + C$

$= -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx$

部分積分を行います。$u = \arctan x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ です。

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx$

$= x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx$

$= x \arctan x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2} x^2$ です。

$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx$

$= \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2 + C$

$= \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

部分積分を2回行います。$I = \int e^x \sin 2x \, dx$ とします。

$u = \sin 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2\cos 2x \, dx$, $v = e^x$ です。

$I = e^x \sin 2x - \int 2e^x \cos 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2\int e^x \cos 2x \, dx$

次に、$u = \cos 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = -2\sin 2x \, dx$, $v = e^x$ です。

$I = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x - \int e^x (-2\sin 2x) \, dx)$

$I = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4\int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4I$

$5I = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x$

$I = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$

三角関数置換を行います。$x = \sin \theta$ とすると、$dx = \cos \theta \, d\theta$ です。

$\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int \cos^2 \theta \, d\theta$

$\int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C$

$= \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C$

$= \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx$

部分分数分解を行います。$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$ なので、

$\frac{1}{x^2-3x-10} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$ とすると、$1 = A(x+2) + B(x-5)$ です。

$x = 5$ のとき、$1 = 7A$ より $A = \frac{1}{7}$ です。

$x = -2$ のとき、$1 = -7B$ より $B = -\frac{1}{7}$ です。

$\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx = \frac{1}{7} \int \frac{1}{x-5} \, dx - \frac{1}{7} \int \frac{1}{x+2} \, dx$

$= \frac{1}{7} \log|x-5| - \frac{1}{7} \log|x+2| + C = \frac{1}{7} \log\left|\frac{x-5}{x+2}\right| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx$

平方完成を行います。$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$ なので、

$\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx = \int \frac{1}{(x-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} \, dx$

$= \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx$

部分分数分解を行います。$x^3 - 4x^2 + 5x = x(x^2 - 4x + 5) = x((x-2)^2 + 1)$ なので、

$\frac{1}{x(x^2-4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-4x+5}$ とすると、$1 = A(x^2-4x+5) + (Bx+C)x$ です。

$x = 0$ のとき、$1 = 5A$ より $A = \frac{1}{5}$ です。

$1 = \frac{1}{5} (x^2-4x+5) + Bx^2 + Cx$ なので、$1 = \frac{1}{5}x^2 - \frac{4}{5}x + 1 + Bx^2 + Cx$ です。

$0 = (\frac{1}{5} + B)x^2 + (-\frac{4}{5} + C)x$ より、$B = -\frac{1}{5}$, $C = \frac{4}{5}$ です。

$\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} \, dx + \int \frac{-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}{x^2-4x+5} \, dx$

$= \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \int \frac{2x-8}{x^2-4x+5} \, dx = \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \int \frac{2x-4-4}{x^2-4x+5} \, dx$

$= \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \int \frac{2x-4}{x^2-4x+5} \, dx + \frac{4}{10} \int \frac{1}{x^2-4x+5} \, dx$

$= \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \log(x^2-4x+5) + \frac{2}{5} \int \frac{1}{(x-2)^2+1} \, dx$

$= \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \log(x^2-4x+5) + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

$\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \int \csc x \, dx = \int \frac{\csc x(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, dx$

$= \int \frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x} \, dx = \log|\csc x - \cot x| + C$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

三角関数置換を行います。$x = \sinh t$ とすると、$dx = \cosh t \, dt$ です。

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \int \sqrt{1+\sinh^2 t} \cosh t \, dt = \int \cosh^2 t \, dt$

$= \int \frac{1+\cosh 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sinh 2t + C$

$= \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\sinh t \cosh t + C$

$= \frac{1}{2} \operatorname{arcsinh} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$

$\operatorname{arcsinh} x = \log(x + \sqrt{1+x^2})$

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \log(x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx = \frac{1}{7} \log\left|\frac{x-5}{x+2}\right| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{2x-3}{\sqrt{7}}\right) + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx = \frac{1}{5} \log|x| - \frac{1}{10} \log(x^2-4x+5) + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \log|\csc x - \cot x| + C$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\log(x + \sqrt{1+x^2}) + C$