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与えられた関数 $f(x) = \log_e{\frac{x}{\sqrt{e}}} \log_e{\frac{x^2}{e^4}}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求め、空欄を埋める。 (2) 関数 $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求め、空欄を埋める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求め、空欄を埋める。

解析学微分対数関数導関数変曲点最大最小
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)=log⁡exelog⁡ex2e4f(x) = \log_e{\frac{x}{\sqrt{e}}} \log_e{\frac{x^2}{e^4}} について、以下の問いに答える問題です。
(1) f′(x)f'(x) と f′′(x)f''(x) を求め、空欄を埋める。
(2) 関数 f(x)f(x) が最小値をとる xx の値を求め、空欄を埋める。
(3) 曲線 y=f(x)y = f(x) の変曲点を求め、空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1) まず、f(x)f(x) を簡単にする。
f(x)=log⁡exelog⁡ex2e4=(log⁡ex−log⁡ee)(log⁡ex2−log⁡ee4)=(log⁡ex−12)(2log⁡ex−4)f(x) = \log_e{\frac{x}{\sqrt{e}}} \log_e{\frac{x^2}{e^4}} = (\log_e{x} - \log_e{\sqrt{e}})(\log_e{x^2} - \log_e{e^4}) = (\log_e{x} - \frac{1}{2})(2\log_e{x} - 4)
f(x)=2(log⁡ex)2−4log⁡ex−log⁡ex+2=2(log⁡ex)2−5log⁡ex+2f(x) = 2(\log_e{x})^2 - 4\log_e{x} - \log_e{x} + 2 = 2(\log_e{x})^2 - 5\log_e{x} + 2
次に、f(x)f(x) を微分して f′(x)f'(x) を求める。
f′(x)=ddx(2(log⁡ex)2−5log⁡ex+2)=4log⁡ex⋅1x−5x=4log⁡ex−5xf'(x) = \frac{d}{dx} (2(\log_e{x})^2 - 5\log_e{x} + 2) = 4\log_e{x} \cdot \frac{1}{x} - \frac{5}{x} = \frac{4\log_e{x} - 5}{x}
f′(x)=1x(4log⁡x−5)f'(x) = \frac{1}{x} (4 \log x - 5)
f′(x)f'(x) をさらに微分して f′′(x)f''(x) を求める。
f′′(x)=ddx(4log⁡ex−5x)=4x⋅x−(4log⁡ex−5)⋅1x2=4−4log⁡ex+5x2=9−4log⁡exx2f''(x) = \frac{d}{dx} (\frac{4\log_e{x} - 5}{x}) = \frac{\frac{4}{x} \cdot x - (4\log_e{x} - 5) \cdot 1}{x^2} = \frac{4 - 4\log_e{x} + 5}{x^2} = \frac{9 - 4\log_e{x}}{x^2}
f′′(x)=1x2(−4log⁡x+9)f''(x) = \frac{1}{x^2} (-4 \log x + 9)
したがって、空欄は、
1: 4, 2: 5, 3: -4, 4: log x, 5: 9
(2) f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求める。
4log⁡ex−5x=0\frac{4\log_e{x} - 5}{x} = 0
4log⁡ex−5=04\log_e{x} - 5 = 0
log⁡ex=54\log_e{x} = \frac{5}{4}
x=e54x = e^{\frac{5}{4}}
f′′(e54)=9−4(54)(e54)2=9−5e52=4e52>0f''(e^{\frac{5}{4}}) = \frac{9 - 4(\frac{5}{4})}{(e^{\frac{5}{4}})^2} = \frac{9 - 5}{e^{\frac{5}{2}}} = \frac{4}{e^{\frac{5}{2}}} > 0
したがって、x=e54x = e^{\frac{5}{4}} で最小値をとる。
空欄は、
6: 5, 7: 4
(3) 変曲点は f′′(x)=0f''(x) = 0 となる点である。
9−4log⁡exx2=0\frac{9 - 4\log_e{x}}{x^2} = 0
9−4log⁡ex=09 - 4\log_e{x} = 0
4log⁡ex=94\log_e{x} = 9
log⁡ex=94\log_e{x} = \frac{9}{4}
x=e94x = e^{\frac{9}{4}}
このとき、y=f(e94)=2(log⁡ee94)2−5log⁡ee94+2=2(94)2−5(94)+2=2(8116)−454+2=818−908+168=78y = f(e^{\frac{9}{4}}) = 2(\log_e{e^{\frac{9}{4}}})^2 - 5\log_e{e^{\frac{9}{4}}} + 2 = 2(\frac{9}{4})^2 - 5(\frac{9}{4}) + 2 = 2(\frac{81}{16}) - \frac{45}{4} + 2 = \frac{81}{8} - \frac{90}{8} + \frac{16}{8} = \frac{7}{8}
したがって、変曲点は (e94,78)(e^{\frac{9}{4}}, \frac{7}{8}) である。
空欄は、
11: 9, 12: 4, 13: 7, 14: 8

3. 最終的な答え

(1) f′(x)=1x(4log⁡x−5)f'(x) = \frac{1}{x} (4 \log x - 5)
f′′(x)=1x2(−4log⁡x+9)f''(x) = \frac{1}{x^2} (-4 \log x + 9)
(2) x=e54x = e^{\frac{5}{4}} で最小値をとる。
(3) 変曲点は (e94,78)(e^{\frac{9}{4}}, \frac{7}{8}) である。

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