すると、$f(x) = e^x - A$ となります。

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1. 問題の内容

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

(1) $f(x) = e^x - \int_0^1 f(t) dt$

(2) $f(x) = x + \int_0^2 f(t) e^t dt$

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2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

1. $\int_0^1 f(t) dt$ は定数であるため、$A = \int_0^1 f(t) dt$ と置きます。

すると、$f(x) = e^x - A$ となります。

2. $A$ の定義に戻り、両辺を $0$ から $1$ まで積分します。

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (e^x - A) dx$

3. 左辺は $A$ なので、

$A = \int_0^1 (e^x - A) dx$

4. 右辺を計算します。

$A = [e^x - Ax]_0^1 = (e^1 - A) - (e^0 - 0) = e - A - 1$

5. $A$ について解きます。

$2A = e - 1$

$A = \frac{e-1}{2}$

6. $f(x)$ の式に $A$ を代入します。

$f(x) = e^x - \frac{e-1}{2}$

**(2) の解き方**

1. $\int_0^2 f(t) e^t dt$ は定数であるため、$B = \int_0^2 f(t) e^t dt$ と置きます。

すると、$f(x) = x + B$ となります。

2. $B$ の定義に戻り、両辺に $e^x$ を掛けて $0$ から $2$ まで積分します。

$\int_0^2 f(x) e^x dx = \int_0^2 (x + B)e^x dx$

3. 左辺は $B$ なので、

$B = \int_0^2 (x + B) e^x dx$

4. 右辺を計算します。部分積分を行います。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$ を用います。

$B = \int_0^2 xe^x dx + \int_0^2 Be^x dx = [xe^x - e^x]_0^2 + [Be^x]_0^2 = (2e^2 - e^2) - (0 - 1) + (Be^2 - B)$

$B = e^2 + 1 + Be^2 - B$

5. $B$ について解きます。

$2B - Be^2 = e^2 + 1$

$B(2 - e^2) = e^2 + 1$

$B = \frac{e^2 + 1}{2 - e^2}$

6. $f(x)$ の式に $B$ を代入します。

$f(x) = x + \frac{e^2 + 1}{2 - e^2}$

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3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^x - \frac{e-1}{2}$

(2) $f(x) = x + \frac{e^2 + 1}{2 - e^2}$