関数 $f(x) = \log_{\sqrt{e}} x \cdot \log_{e^4} x^2$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) 関数 $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求める。 (3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log_{\sqrt{e}} x \cdot \log_{e^4} x^2$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) 関数 $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求める。

(3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を簡単にする。

$f(x) = \log_{\sqrt{e}} x \cdot \log_{e^4} x^2 = \frac{\log x}{\log \sqrt{e}} \cdot \frac{\log x^2}{\log e^4} = \frac{\log x}{\frac{1}{2} \log e} \cdot \frac{2\log x}{4 \log e} = \frac{\log x}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2\log x}{4} = \log x \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \log x = (\log x)^2$

次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x} = \frac{1}{x} (2 \log x)$

したがって、1には2が入る。

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x - 2\log x \cdot 1}{x^2} = \frac{2 - 2\log x}{x^2} = \frac{2(1 - \log x)}{x^2} = \frac{1}{x^2} (2 - 2\log x)$.

したがって、3には2, 4には-2, 5には0が入る。

(2) $f'(x) = \frac{2 \log x}{x} = 0$ となる $x$ を求める。

$\log x = 0$ より $x = e^0 = 1$.

$f''(x) = \frac{2(1 - \log x)}{x^2}$.

$f''(1) = \frac{2(1 - \log 1)}{1^2} = \frac{2(1 - 0)}{1} = 2 > 0$ なので、$x=1$ で最小値を取る。

よって6には1, 7には0が入る。

最小値は $f(1) = (\log 1)^2 = 0$.

したがって、8には0, 9には0, 10には0が入る。

(3) 変曲点は、$f''(x) = 0$ となる点である。

$f''(x) = \frac{2(1 - \log x)}{x^2} = 0$

$1 - \log x = 0$

$\log x = 1$

$x = e^1 = e$.

$x < e$ のとき $f''(x) > 0$, $x > e$ のとき $f''(x) < 0$ なので、$x=e$ で変曲点を持つ。

$y = f(e) = (\log e)^2 = 1^2 = 1$.

したがって、変曲点の座標は $(e, 1)$ である。

よって11には1, 12には1, 13には1, 14には1が入る。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{x} (2 \log x)$, $f''(x) = \frac{1}{x^2} (2 - 2 \log x)$

(2) $x = e^0 = 1$ で最小値 $0$ をとる。

(3) 変曲点は $(e, 1)$ である。