与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。具体的には以下の2つの問題があります。 (1) $f(x) = e^x - \int_0^1 f(t) dt$ (2) $f(x) = x + \int_0^2 f(t) e^t dt$

解析学積分方程式関数積分定積分部分積分
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた積分方程式を満たす関数 f(x)f(x) を求める問題です。具体的には以下の2つの問題があります。
(1) f(x)=ex01f(t)dtf(x) = e^x - \int_0^1 f(t) dt
(2) f(x)=x+02f(t)etdtf(x) = x + \int_0^2 f(t) e^t dt

2. 解き方の手順

(1)
01f(t)dt\int_0^1 f(t) dt は定数なので、これを AA とおきます。
A=01f(t)dtA = \int_0^1 f(t) dt
すると、f(x)f(x) は以下のように表せます。
f(x)=exAf(x) = e^x - A
これを AA の定義に代入します。
A=01(etA)dtA = \int_0^1 (e^t - A) dt
A=01etdt01AdtA = \int_0^1 e^t dt - \int_0^1 A dt
A=[et]01A[t]01A = [e^t]_0^1 - A[t]_0^1
A=e1e0A(10)A = e^1 - e^0 - A(1 - 0)
A=e1AA = e - 1 - A
2A=e12A = e - 1
A=e12A = \frac{e - 1}{2}
したがって、f(x)=exe12f(x) = e^x - \frac{e - 1}{2}
(2)
02f(t)etdt\int_0^2 f(t)e^t dt は定数なので、これを BB とおきます。
B=02f(t)etdtB = \int_0^2 f(t) e^t dt
すると、f(x)f(x) は以下のように表せます。
f(x)=x+Bf(x) = x + B
これを BB の定義に代入します。
B=02(t+B)etdtB = \int_0^2 (t + B)e^t dt
B=02tetdt+B02etdtB = \int_0^2 t e^t dt + B \int_0^2 e^t dt
部分積分を使って 02tetdt\int_0^2 t e^t dt を計算します。u=tu = t, dv=etdtdv = e^t dt とおくと、du=dtdu = dt, v=etv = e^t なので、
02tetdt=[tet]0202etdt=2e20[et]02=2e2(e2e0)=2e2e2+1=e2+1\int_0^2 t e^t dt = [t e^t]_0^2 - \int_0^2 e^t dt = 2e^2 - 0 - [e^t]_0^2 = 2e^2 - (e^2 - e^0) = 2e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1
また、02etdt=[et]02=e2e0=e21\int_0^2 e^t dt = [e^t]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1
よって、B=e2+1+B(e21)B = e^2 + 1 + B(e^2 - 1)
BB(e21)=e2+1B - B(e^2 - 1) = e^2 + 1
B(1e2+1)=e2+1B(1 - e^2 + 1) = e^2 + 1
B(2e2)=e2+1B(2 - e^2) = e^2 + 1
B=e2+12e2B = \frac{e^2 + 1}{2 - e^2}
したがって、f(x)=x+e2+12e2f(x) = x + \frac{e^2 + 1}{2 - e^2}

3. 最終的な答え

(1) f(x)=exe12f(x) = e^x - \frac{e - 1}{2}
(2) f(x)=x+e2+12e2f(x) = x + \frac{e^2 + 1}{2 - e^2}

「解析学」の関連問題

## 解答

積分不定積分定積分置換積分部分積分
2025/7/12

ロピタルの定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を求めます。

極限ロピタルの定理三角関数微分
2025/7/12

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 5x + 6} - (ax + b)) = 0$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

極限関数の極限ルート近似分数式
2025/7/12

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減を調べ、極値の有無を調べます。

関数の増減極値導関数微分増減表
2025/7/12

ロピタルの定理を用いて、次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

極限ロピタルの定理三角関数微分
2025/7/12

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。 $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta < 0$

三角関数三角関数の合成不等式
2025/7/12

ロピタルの定理を用いて以下の極限値を求めます。 a) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$...

極限ロピタルの定理指数関数対数関数三角関数
2025/7/12

$\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ を示す問題です。

逆三角関数三角関数の相互関係証明
2025/7/12

与えられた4つの関数 a) $sin(2x)$、 b) $sin^2(x)$、 c) $cos^{-1}(2x)$、 d) $\frac{cos(x)}{sin(x)}$ をそれぞれ微分する問題です。

微分三角関数合成関数の微分商の微分法
2025/7/12

与えられた10個の積分問題を解く。各問題は以下の通りである。 (1) $\int x \sin 3x \, dx$ (2) $\int \arctan x \, dx$ (3) $\int x \lo...

積分部分積分三角関数置換部分分数分解
2025/7/12