$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy平面上の4点 $(1,0)$, $(e,0)$, $(e,1)$, $(t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める問題です。さらに、$1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy平面上の4点 $(1,0)$, $(e,0)$, $(e,1)$, $(t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める問題です。さらに、$1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、四角形の面積 $S$ を求めます。四角形は台形であるとみなすことができます。台形の面積は、上底+下底×高さ÷2 で計算できます。

この四角形の上底は $1$、下底は $\log t$、高さは $e-1$ です。

したがって、$S$ は、

$$S = \frac{1 + \log t}{2} (e-1)$$

となります。これは $\frac{e-1}{2} \log t + \frac{e-1}{2}$ とも書けます。

よって、1 の答えは $\frac{e-1}{2}$ であり、3 の答えは $\frac{e-1}{2}$ です。

ここで、$f(t) = \frac{e-1}{2} \log t$とおくと$S=f(t) + \frac{e-1}{2}$となります。

次に、$1 < t < e$ の範囲で、$S$ の取り得る値の範囲を求めます。

$t=1$ のとき、$\log 1 = 0$ なので、 $S = \frac{1}{2} (e-1)$。

$t=e$ のとき、$\log e = 1$ なので、$S = \frac{1+1}{2} (e-1) = e-1$。

関数 $\log t$ は単調増加なので、$S$ も $t$ について単調増加となります。

したがって、$S$ の範囲は、$\frac{e-1}{2} < S \leq e-1$ となります。

これより、4 の答えは $\frac{1}{2}(e-1)$ 、5 の答えは 1、6の答えは 1、7の答えは $(e-1)$ です。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 1

3: 3

4: 3

5: 6

6: 6

7: 8