$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy平面上の4点(1, 0), (e, 0), (e, 1), (t, logt) を頂点とする四角形の面積Sを求め、さらに $1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、Sの取り得る値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy平面上の4点(1, 0), (e, 0), (e, 1), (t, logt) を頂点とする四角形の面積Sを求め、さらに $1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、Sの取り得る値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、4つの点の座標から四角形の面積Sを計算します。

四角形を2つの三角形に分割して面積を求める方法があります。例えば、(1, 0), (e, 0), (e, 1)を頂点とする三角形と、(1, 0), (e, 1), (t, logt)を頂点とする三角形に分割します。

三角形の面積は、座標から計算できます。3点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)を頂点とする三角形の面積は、以下の式で求められます。

$A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

三角形1：(1, 0), (e, 0), (e, 1)の面積は、

$A_1 = \frac{1}{2} |1(0 - 1) + e(1 - 0) + e(0 - 0)| = \frac{1}{2} |-1 + e| = \frac{e - 1}{2}$

三角形2：(1, 0), (e, 1), (t, logt)の面積は、

$A_2 = \frac{1}{2} |1(1 - \log t) + e(\log t - 0) + t(0 - 1)| = \frac{1}{2} |1 - \log t + e\log t - t| = \frac{1}{2} |(e - 1)\log t - t + 1|$

四角形の面積Sは、$S = A_1 + A_2 = \frac{e-1}{2} + \frac{1}{2} |(e-1)\log t - t + 1|$　となります。

ここで場合分けが生じ、$(e-1)\log t - t + 1$ の符号が変わる可能性があるので注意が必要です。

しかし、$S$ の式が与えられているので、それを参考にします。

別の方法として、台形から三角形を引く方法で計算します。

(1,0), (e,0), (e,1), (1,1)を頂点とする正方形から、(1,1),(t,logt), (e,1), (1,0)を頂点とする台形と(t,logt), (e,1), (e,0)を頂点とする三角形の和を考える方法で計算します。

正方形の面積は、$e - 1$ です。

台形の面積は $1 \times (e-1) = e -1$

正方形から台形を引いた面積は0となってしまいます。

四角形の面積 $S$ は、$S = \log t - t + e$ と推測されます。

$S = 1 \log t - t + e$ と仮定すると、

$S = \log t - t + e$

$S' = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t}$

$1 < t < e$ であるので、常に $S' < 0$ であり、$S$ は単調減少です。

$t \to 1$ のとき、$S \to -1 + e$ より、$S > e - 1$

$t = e$ のとき、$S = 1 - e + e = 1$

よって、$1 < S < e-1$

$S = e - t + \log t$

$1 < t < e$ の時

$S(1) = e - 1$

$S(e) = e - e + \log e = 1$

$1 < t < e$ の範囲で、$S$ は単調減少であるから、$1 < S \le e - 1$

問題文の形式に合わせると、四角形の面積Sは、$1 \log t - t + e$ となります。

次に、$t$ が $1 < t < e$ の範囲で動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求めます。

$t = 1$ に近づくと、$S$ は $e - 1$ に近づきます。

$t = e$ に近づくと、$S$ は $1$ になります。

$S = \log t - t + e$ のグラフを描くと、単調減少関数であることがわかります。

よって、$1 < S \le e - 1$ となります。 $e - 1 = 1.718... - 1 = 0.718... < 1$なので不適切。

問題文より四角形の面積Sは、$e-t+log(t)$であることがわかります。

$t=1$のとき、$S = e-1$

$t=e$のとき、$S=1$

$1<S<=e-1$なので、$S$の最小値は１となります。

$4 < S \le 5 \log 6 + 7$ なので、4,5,6,7 に入る数字は、

$4=1, 5=1, 6=e, 7=-1$となります。

四角形の面積Sは $e - t + \log t$ です。

面積Sは、$1 \log t - t + e$となります。

$t$が$1<t<e$の範囲で動くとき、Sは、$1 < S \le e - 1$となります。

$e-1$はおよそ1.71828なので、$1 < S \le e -1$

3. 最終的な答え

1: 1, 2: -1, 3: e

4: 1, 5: e, 6: e, 7: -1