与えられた4つの不定積分を計算します。 (1) $\int (2x-1)^4 dx$ (2) $\int \sqrt{5-2x} dx$ (3) $\int \cos(2\theta - \frac{\pi}{2}) d\theta$ (4) $\int \frac{x}{\sqrt{x-3}} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算します。

(1) $\int (2x-1)^4 dx$

(2) $\int \sqrt{5-2x} dx$

(3) $\int \cos(2\theta - \frac{\pi}{2}) d\theta$

(4) $\int \frac{x}{\sqrt{x-3}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (2x-1)^4 dx$

$u = 2x - 1$ と置換すると、$du = 2dx$ なので、$dx = \frac{1}{2} du$。

$\int (2x-1)^4 dx = \int u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^4 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{10} u^5 + C = \frac{1}{10} (2x-1)^5 + C$

(2) $\int \sqrt{5-2x} dx$

$u = 5 - 2x$ と置換すると、$du = -2dx$ なので、$dx = -\frac{1}{2} du$。

$\int \sqrt{5-2x} dx = \int \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3} (5-2x)^{\frac{3}{2}} + C$

(3) $\int \cos(2\theta - \frac{\pi}{2}) d\theta$

$u = 2\theta - \frac{\pi}{2}$ と置換すると、$du = 2d\theta$ なので、$d\theta = \frac{1}{2} du$。

$\int \cos(2\theta - \frac{\pi}{2}) d\theta = \int \cos(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(2\theta - \frac{\pi}{2}) + C = \frac{1}{2} (-\cos(2\theta)) + C = -\frac{1}{2} \cos(2\theta) + C$

(4) $\int \frac{x}{\sqrt{x-3}} dx$

$u = x - 3$ と置換すると、$x = u+3$、$du = dx$。

$\int \frac{x}{\sqrt{x-3}} dx = \int \frac{u+3}{\sqrt{u}} du = \int \frac{u}{\sqrt{u}} + \frac{3}{\sqrt{u}} du = \int u^{\frac{1}{2}} + 3u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 3 \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} (x-3)^{\frac{3}{2}} + 6 (x-3)^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} (x-3)\sqrt{x-3} + 6\sqrt{x-3} + C = \sqrt{x-3}(\frac{2}{3}(x-3) + 6) + C = \sqrt{x-3}(\frac{2}{3}x - 2 + 6) + C = \sqrt{x-3}(\frac{2}{3}x + 4) + C = \frac{2}{3}(x+6)\sqrt{x-3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10} (2x-1)^5 + C$

(2) $-\frac{1}{3} (5-2x)^{\frac{3}{2}} + C$

(3) $-\frac{1}{2} \cos(2\theta) + C$

(4) $\frac{2}{3}(x+6)\sqrt{x-3} + C$