次の関係式を満たす定数 $a$ と関数 $g(x)$ を求める問題です。 $\int_a^x \{g(t) + t g(a)\} dt = x^2 - 2x - 3$

1. 問題の内容

次の関係式を満たす定数 $a$ と関数 $g(x)$ を求める問題です。

$\int_a^x \{g(t) + t g(a)\} dt = x^2 - 2x - 3$

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分式に $x=a$ を代入すると、積分の範囲が $a$ から $a$ になるため、積分の値は0になります。したがって、以下の式が得られます。

$a^2 - 2a - 3 = 0$

この2次方程式を解くと、

$(a - 3)(a + 1) = 0$

よって、$a = 3$ または $a = -1$ となります。

次に、与えられた積分式を $x$ で微分します。積分の微分に関するライプニッツの公式を用いると、以下のようになります。

$\frac{d}{dx} \int_a^x \{g(t) + t g(a)\} dt = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x - 3)$

$g(x) + x g(a) = 2x - 2$

したがって、$g(x) = 2x - 2 - x g(a)$ となります。ここで、$g(a)$ は定数なので、これを $C$ とおくと、$g(x) = 2x - 2 - Cx$ となります。

つまり、$g(x) = (2-C)x - 2$

$C = g(a)$ なので、$g(a) = (2-C)a - 2$ が成り立ちます。

$C = (2-C)a - 2$

これを $C$ について解くと、

$C = 2a - aC - 2$

$C + aC = 2a - 2$

$C(1 + a) = 2(a - 1)$

$C = \frac{2(a - 1)}{a + 1}$

したがって、$g(a) = \frac{2(a - 1)}{a + 1}$ となり、これを $g(x) = (2-C)x - 2$ に代入します。

$g(x) = \left(2 - \frac{2(a - 1)}{a + 1}\right) x - 2$

$g(x) = \left(\frac{2a + 2 - 2a + 2}{a + 1}\right) x - 2$

$g(x) = \frac{4}{a + 1} x - 2$

$a = 3$ の場合:

$g(x) = \frac{4}{3 + 1} x - 2 = x - 2$

$g(3) = 3 - 2 = 1$

$C = \frac{2(3-1)}{3+1} = \frac{4}{4} = 1$

よって $g(x) = x-2$ は解の１つ。

$a = -1$ の場合:

分母が0になるため、解は存在しません。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$g(x) = x - 2$