問題1では、次の2つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $\frac{2}{(e^x + e^{-x})^2}$ (2) $x \tan^{-1} x$ 問題2では、次の3つの有理関数の不定積分を求める問題です。 (1) $\frac{2x+7}{x^2+x-2}$ (2) $\frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3}$ (3) $\frac{5x}{x^3-2x-4}$

1. 問題の内容

問題1では、次の2つの関数の不定積分を求める問題です。

(1) $\frac{2}{(e^x + e^{-x})^2}$

(2) $x \tan^{-1} x$

問題2では、次の3つの有理関数の不定積分を求める問題です。

(1) $\frac{2x+7}{x^2+x-2}$

(2) $\frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3}$

(3) $\frac{5x}{x^3-2x-4}$

2. 解き方の手順

**問題1 (1) の解き方**

まず、関数を変形します。

$\frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{2}{(e^x + \frac{1}{e^x})^2} = \frac{2}{\frac{(e^{2x} + 1)^2}{e^{2x}}} = \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$

ここで、$u = e^{2x} + 1$ と置換すると、$du = 2e^{2x} dx$ となります。したがって、

$\int \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^{2x} + 1} + C$

この結果を変形します。

$-\frac{1}{e^{2x} + 1} + C = -\frac{e^{-x}}{e^x + e^{-x}}+ C$

**問題1 (2) の解き方**

部分積分を用います。$u = \tan^{-1} x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C$

$= \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C = \frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$

**問題2 (1) の解き方**

部分分数分解します。まず、分母を因数分解します。$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

$\frac{2x+7}{x^2+x-2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$

$2x+7 = A(x-1) + B(x+2)$

$x=1$ のとき $9 = 3B$ より $B = 3$

$x=-2$ のとき $3 = -3A$ より $A = -1$

したがって、$\frac{2x+7}{x^2+x-2} = -\frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1}$

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx = \int (-\frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1}) dx = -\ln |x+2| + 3 \ln |x-1| + C = \ln \frac{|x-1|^3}{|x+2|} + C$

**問題2 (2) の解き方**

まず、分子を分母で割ります。

$\frac{x^4 + 2x^3 - 1}{x^2+2x+3} = x^2 -3 + \frac{6}{x^2+2x+3}$

$\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx = \int (x^2 - 3 + \frac{6}{x^2+2x+3}) dx = \frac{x^3}{3} - 3x + \int \frac{6}{x^2+2x+3} dx$

$x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2$

$\int \frac{6}{(x+1)^2 + 2} dx = \frac{6}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{x+1}{\sqrt{2}} + C = 3\sqrt{2} \tan^{-1} \frac{x+1}{\sqrt{2}} + C$

したがって、$\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + 3\sqrt{2} \tan^{-1} \frac{x+1}{\sqrt{2}} + C$

**問題2 (3) の解き方**

まず、分母を因数分解します。$x^3 - 2x - 4 = (x-2)(x^2+2x+2)$

$\frac{5x}{x^3-2x-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

$5x = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-2)$

$5x = Ax^2 + 2Ax + 2A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$

$5x = (A+B)x^2 + (2A-2B+C)x + (2A-2C)$

係数を比較して、

$A+B=0$, $2A-2B+C=5$, $2A-2C=0$

$A=C$, $B=-A$, $2A + 2A + A = 5$

$5A=5$ より $A=1$

$A=1$, $B=-1$, $C=1$

したがって、$\frac{5x}{x^3-2x-4} = \frac{1}{x-2} + \frac{-x+1}{x^2+2x+2}$

$\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx = \int (\frac{1}{x-2} + \frac{-x+1}{x^2+2x+2}) dx = \int \frac{1}{x-2} dx - \int \frac{x-1}{x^2+2x+2} dx$

$\int \frac{1}{x-2} dx = \ln |x-2| + C_1$

$\int \frac{x-1}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{x+1-2}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{x+1}{x^2+2x+2} dx - \int \frac{2}{x^2+2x+2} dx$

$\int \frac{x+1}{x^2+2x+2} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2+2x+2) + C_2$

$\int \frac{2}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{2}{(x+1)^2+1} dx = 2 \tan^{-1} (x+1) + C_3$

$\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx = \ln |x-2| - \frac{1}{2} \ln (x^2+2x+2) + 2 \tan^{-1} (x+1) + C$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $-\frac{e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + C$

(2) $\frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$

問題2

(1) $\ln \frac{|x-1|^3}{|x+2|} + C$

(2) $\frac{x^3}{3} - 3x + 3\sqrt{2} \tan^{-1} \frac{x+1}{\sqrt{2}} + C$

(3) $\ln |x-2| - \frac{1}{2} \ln (x^2+2x+2) + 2 \tan^{-1} (x+1) + C$