関数 $f(x, y)$ の連続性を調べる問題です。関数は次のように定義されています。 $f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{xy}$ (if $xy \neq 0$) $f(x, y) = 1$ (if $xy = 0$)

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ の連続性を調べる問題です。関数は次のように定義されています。

$f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{xy}$ (if $xy \neq 0$)

$f(x, y) = 1$ (if $xy = 0$)

2. 解き方の手順

関数が連続であるためには、すべての点において以下の条件を満たす必要があります。

(1) その点で関数が定義されている。

(2) その点における極限が存在する。

(3) その点における関数の値と極限値が等しい。

まず、$xy \neq 0$ の場合、$f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{xy}$ は初等関数なので連続です。したがって、$xy = 0$ となる点、つまり $x=0$ または $y=0$ となる点での連続性を調べればよいです。関数は、$xy=0$ のとき、$f(x,y)=1$と定義されているので、$xy=0$となる点でも定義されています。

次に、$xy = 0$ に近づくときの $f(x, y)$ の極限を調べます。

$t = xy$ とおくと、$(x, y) \to (x_0, y_0)$ で $x_0 y_0 = 0$ のとき、$t \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

したがって、$(x, y) \to (x_0, y_0)$ で $x_0 y_0 = 0$ のとき、$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = 1$ です。

一方、$xy = 0$ のとき、$f(x, y) = 1$ なので、

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0) = 1$

したがって、すべての点において、$f(x, y)$ は連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x, y)$ は連続である。