与えられた積分問題を解きます。 問題1: 次の関数の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx$ (2) $\int x \arctan(x) dx$ 問題2: 次の有理関数の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx$ (2) $\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx$ (3) $\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx$

## 回答

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。

問題1: 次の関数の不定積分を求めよ。

(1) $\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx$

(2) $\int x \arctan(x) dx$

問題2: 次の有理関数の不定積分を求めよ。

(1) $\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx$

(2) $\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx$

(3) $\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx$

2. 解き方の手順

**問題1 (1)**

$\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx$を計算します。

まず、$e^x = t$とおくと、$x = \log(t)$、 $dx = \frac{1}{t} dt$です。

与式は、

$\int \frac{2}{(t + \frac{1}{t})^2} \frac{1}{t} dt = \int \frac{2t}{(t^2 + 1)^2} dt$

$u = t^2 + 1$とおくと、$du = 2t dt$なので、

$\int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{t^2 + 1} + C = -\frac{1}{e^{2x} + 1} + C$

したがって、$\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx = -\frac{1}{e^{2x} + 1} + C$

**問題1 (2)**

$\int x \arctan(x) dx$を計算します。

部分積分法を用います。$u = \arctan(x)$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$です。

$\int x \arctan(x) dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx$

$\int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{1}{2}(x - \arctan(x)) + C$

よって、

$\int x \arctan(x) dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan(x) + C$

$= \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan(x) - \frac{x}{2} + C$

**問題2 (1)**

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx$を計算します。

$\frac{2x+7}{x^2+x-2} = \frac{2x+7}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$とおきます。

$2x+7 = A(x-1) + B(x+2)$

$x=1$のとき、 $9 = 3B$, $B=3$

$x=-2$のとき、 $3 = -3A$, $A=-1$

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx = \int (-\frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1}) dx = -\log|x+2| + 3\log|x-1| + C$

**問題2 (2)**

$\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx$を計算します。

まず、分子を分母で割ります。

$x^4+2x^3-1 = (x^2+2x+3)(x^2-0x-3) + (6x+8)$

したがって、$\frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} = x^2 - 3 + \frac{6x+8}{x^2+2x+3}$

$\int (x^2 - 3 + \frac{6x+8}{x^2+2x+3}) dx = \frac{x^3}{3} - 3x + \int \frac{6x+8}{x^2+2x+3} dx$

$\int \frac{6x+8}{x^2+2x+3} dx = \int \frac{3(2x+2) + 2}{x^2+2x+3} dx = 3\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx + \int \frac{2}{(x+1)^2+2} dx$

$u = x^2+2x+3$とおくと、$du = (2x+2) dx$

$3\int \frac{1}{u} du = 3\log|x^2+2x+3|$

$\int \frac{2}{(x+1)^2+2} dx = \int \frac{2}{(\sqrt{2}u)^2+2} (\sqrt{2}du)= \sqrt{2} \int \frac{1}{u^2+1} du = \sqrt{2} \arctan(u)$。

$u = \frac{x+1}{\sqrt{2}}$. つまり、

$\int \frac{2}{(x+1)^2+2} dx = \sqrt{2}\arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

よって、

$\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + 3\log(x^2+2x+3) + \sqrt{2}\arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

**問題2 (3)**

$\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx$ を計算します。

$x^3 - 2x - 4 = (x-2)(x^2 + 2x + 2)$

$\frac{5x}{x^3-2x-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

$5x = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-2)$

$x=2$のとき、$10 = A(4+4+2) = 10A$, $A=1$

$5x = x^2+2x+2 + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$

$x^2$の係数: $0 = 1 + B$, $B = -1$

定数項: $0 = 2 - 2C$, $C=1$

$\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx = \int (\frac{1}{x-2} + \frac{-x+1}{x^2+2x+2}) dx$

$= \log|x-2| + \int \frac{-x+1}{x^2+2x+2} dx$

$= \log|x-2| + \int \frac{-\frac{1}{2}(2x+2) + 2}{x^2+2x+2} dx$

$= \log|x-2| - \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2} dx + 2\int \frac{1}{(x+1)^2+1} dx$

$= \log|x-2| - \frac{1}{2} \log(x^2+2x+2) + 2\arctan(x+1) + C$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx = -\frac{1}{e^{2x} + 1} + C$

(2) $\int x \arctan(x) dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan(x) - \frac{x}{2} + C$

問題2:

(1) $\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx = -\log|x+2| + 3\log|x-1| + C$

(2) $\int \frac{x^4+2x^3-1}{x^2+2x+3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + 3\log(x^2+2x+3) + \sqrt{2}\arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

(3) $\int \frac{5x}{x^3-2x-4} dx = \log|x-2| - \frac{1}{2} \log(x^2+2x+2) + 2\arctan(x+1) + C$