放物線 $y=x^2$ をCとする。C上の2点(3, 9), (-2, 4)における接線をそれぞれ$l_1$, $l_2$とする。 (1) 2つの接線$l_1$, $l_2$の交点の$x$座標を求める。 (2) 放物線Cと2つの接線$l_1$, $l_2$で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ をCとする。C上の2点(3, 9), (-2, 4)における接線をそれぞれ$l_1$, $l_2$とする。

(1) 2つの接線$l_1$, $l_2$の交点の$x$座標を求める。

(2) 放物線Cと2つの接線$l_1$, $l_2$で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y=x^2$ の導関数は $y'=2x$ である。

点(3, 9)における接線$l_1$の方程式は、

$y - 9 = 2(3)(x-3)$

$y = 6x - 9$

点(-2, 4)における接線$l_2$の方程式は、

$y - 4 = 2(-2)(x-(-2))$

$y = -4x - 4$

2つの接線の交点の$x$座標を求めるには、2つの式を連立させて解く。

$6x - 9 = -4x - 4$

$10x = 5$

$x = \frac{1}{2}$

(2)

求める面積は、$\int_{-2}^{3} x^2 dx$ から、台形の面積を引いたものである。

または、$\int_{-2}^{1/2} (x^2 - (-4x-4)) dx + \int_{1/2}^{3} (x^2 - (6x-9)) dx$ で計算できる。

$\int_{-2}^{1/2} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{1/2} = \frac{1}{3}(\frac{1}{8}) + 2(\frac{1}{4}) + 4(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{3}(-8) + 2(4) + 4(-2)) = \frac{1}{24} + \frac{1}{2} + 2 + \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{1}{24} + \frac{12}{24} + \frac{64}{24} = \frac{77}{24}$

$\int_{1/2}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_{1/2}^{3} = \frac{1}{3}(27) - 3(9) + 9(3) - (\frac{1}{3}(\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) + 9(\frac{1}{2})) = 9 - 27 + 27 - \frac{1}{24} + \frac{3}{4} - \frac{9}{2} = 9 - \frac{1}{24} + \frac{18}{24} - \frac{108}{24} = 9 - \frac{91}{24} = \frac{216 - 91}{24} = \frac{125}{24}$

$\frac{77}{24} + \frac{125}{24} = \frac{202}{24} = \frac{101}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{101}{12}$