与えられた関数 $f(x, y) = 0$ が、与えられた点の近傍で陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、その点における接線を求める。今回は、$f(x, y) = x^{2/3} + y^{2/3} - 4$、$ (x_0, y_0) = (3\sqrt{3}, 1)$ の場合を考える。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 0$ が、与えられた点の近傍で陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、その点における接線を求める。今回は、$f(x, y) = x^{2/3} + y^{2/3} - 4$、$(x_0, y_0) = (3\sqrt{3}, 1)$ の場合を考える。

2. 解き方の手順

(1) 陰関数定理の条件の確認:

与えられた点 $(x_0, y_0)$ で、$f(x_0, y_0) = 0$ が成り立つこと、および $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$ であることを確認する。

まず、$f(3\sqrt{3}, 1) = (3\sqrt{3})^{2/3} + 1^{2/3} - 4 = (9 \cdot 3)^{1/3} + 1 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$。

したがって、$f(3\sqrt{3}, 1) = 0$ が成り立つ。

次に、偏微分 $\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}y^{-1/3}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(3\sqrt{3}, 1) = \frac{2}{3}(1)^{-1/3} = \frac{2}{3} \neq 0$。

したがって、陰関数定理の条件が満たされるので、$y$ は $x$ の関数として表すことができる。

(2) 接線の傾きの計算:

陰関数定理より、$\frac{dy}{dx} = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}$。

まず、$\frac{\partial f}{\partial x}$ を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2}{3}x^{-1/3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{2}{3}x^{-1/3}}{\frac{2}{3}y^{-1/3}} = - \frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = - (\frac{y}{x})^{1/3}$

点 $(3\sqrt{3}, 1)$ における接線の傾きは、

$\frac{dy}{dx}(3\sqrt{3}, 1) = - (\frac{1}{3\sqrt{3}})^{1/3} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

(3) 接線の方程式の導出:

接線の方程式は、$y - y_0 = m(x - x_0)$ で与えられる。ここで、$m = \frac{dy}{dx}(x_0, y_0)$ は接線の傾きである。

したがって、接線の方程式は、

$y - 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3\sqrt{3})$

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 3 + 1$

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 4$

3. 最終的な答え

陰関数定理より、与えられた点の近傍で陰関数 $y = \varphi(x)$ が存在し、その点 $(3\sqrt{3}, 1)$ における接線の方程式は、

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 4$