$0 \le x \le \pi$ のとき、$y = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、$y = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を用いて、$y$ を $r\sin(x+\alpha)$ の形に変形する。

$y = -\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\left(-\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x\right)$

ここで、$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ を考えると、$\alpha = \frac{2\pi}{3}$ である。

したがって、

$y = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} \sin x + \sin \frac{2\pi}{3} \cos x\right) = 2\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$

$0 \le x \le \pi$ であるから、$\frac{2\pi}{3} \le x + \frac{2\pi}{3} \le \frac{5\pi}{3}$

$y$ が最大値をとるのは、$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1$ のときである。

$x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ となるが、$\frac{2\pi}{3} \le x + \frac{2\pi}{3} \le \frac{5\pi}{3}$の範囲には含まれない。

範囲内で$x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n$を満たす$x$の値が存在しないので、次に$\frac{5\pi}{3}$に近い場所で考える。$\sin(\frac{\pi}{2})=1$なので、$x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2}+2\pi n$とはならないものの、$x+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$に近い場所で考える。

$x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$　→ $x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi-4\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}$

$x + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$　→ $x = \frac{5\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \pi$

$x = \pi$のとき$y=2\sin(\pi+\frac{2\pi}{3}) = 2\sin(\frac{5\pi}{3})=2\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\sqrt{3}$となる。

これは範囲の端なので、範囲の中央付近で考える。

$x = \frac{\pi}{6}$付近、$x = \pi$付近で考える。

$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1$となるとき、つまり$x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$となる場合はない。

$x + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$のとき、$x = \frac{5\pi}{6}-\frac{4\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$

$y=2\sin(\frac{5\pi}{6})=2\cdot\frac{1}{2}=1$

$\sin(x+\frac{2\pi}{3})=1$となる値はないが、範囲内で最大となる場所を考えると$x=\frac{\pi}{6}$となる。

$y$ が最小値をとるのは、$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -1$ のときである。

$x + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ となるので、$x = \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{9\pi - 4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$x=\frac{5\pi}{6}$のとき、$y = 2\sin\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{5\pi + 4\pi}{6}\right) = 2\sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2(-1) = -2$

したがって、最大値は $1$ ($x=\frac{\pi}{6}$のとき)、最小値は $-2$ ($x=\frac{5\pi}{6}$のとき)

3. 最終的な答え

最大値: 1 ($x = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値: -2 ($x = \frac{5\pi}{6}$ のとき)