関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 2\log_{\frac{1}{4}}(3-x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 定義域を求めます。 (2) $x$ がいくつのとき、関数が最小値をとり、その値を求めます。また、最大値をとるか最小値をとるかを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 2\log_{\frac{1}{4}}(3-x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 定義域を求めます。

(2) $x$ がいくつのとき、関数が最小値をとり、その値を求めます。また、最大値をとるか最小値をとるかを選びます。

2. 解き方の手順

(1) 定義域について

対数関数が定義されるためには、真数条件を満たす必要があります。つまり、$x-2>0$ かつ $3-x>0$ が必要です。

$x-2>0$ より $x>2$。

$3-x>0$ より $x<3$。

したがって、定義域は $2 < x < 3$ となります。

(2) 最小値について

まず、底を揃えます。$\log_{\frac{1}{4}}(3-x) = \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$ であるから、

$y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + \log_{\frac{1}{2}}(3-x) = \log_{\frac{1}{2}}((x-2)(3-x))$

となります。

$t = (x-2)(3-x) = -x^2 + 5x - 6 = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}$ とおくと、$y = \log_{\frac{1}{2}}(t)$ となります。

$2 < x < 3$ において、$t$ は $x = \frac{5}{2}$ で最大値 $\frac{1}{4}$ をとります。

$t$ の範囲は $0 < t \le \frac{1}{4}$ です。

底が $\frac{1}{2}$ であるから、$\log_{\frac{1}{2}}(t)$ は $t$ が小さいほど大きな値をとり、$t$ が大きいほど小さな値を持ちます。

したがって、$t$ が最大値 $\frac{1}{4}$ をとるとき、$y$ は最小値をとります。

$x = \frac{5}{2}$ のとき、$t = \frac{1}{4}$ なので、$y = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4}) = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^2 = 2$ が最小値となります。

3. 最終的な答え

(1) 定義域は $2 < x < 3$

(2) $x = \frac{5}{2}$ のとき、最小値 $2$ をとる。