与えられた積分 $\int x^3 \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^3 \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 4 - x^2$ と置くと、 $du = -2x dx$ となります。

したがって、$x^2 = 4 - u$ と $x dx = -\frac{1}{2} du$ を得ます。

積分は次のように書き換えられます。

$\int x^3 \sqrt{4-x^2} dx = \int x^2 \sqrt{4-x^2} x dx = \int (4-u) \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int (4-u)u^{\frac{1}{2}} du$

次に、積分を展開します。

$-\frac{1}{2} \int (4u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du = -\frac{1}{2} (4 \int u^{\frac{1}{2}} du - \int u^{\frac{3}{2}} du)$

積分を計算します。

$-\frac{1}{2} (4 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}) + C = -\frac{1}{2} (\frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C = -\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

$u = 4 - x^2$ を代入します。

$-\frac{4}{3} (4-x^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5} (4-x^2)^{\frac{5}{2}} + C$

共通因子 $(4-x^2)^{\frac{3}{2}}$ でくくると、

$(4-x^2)^{\frac{3}{2}} (-\frac{4}{3} + \frac{1}{5} (4-x^2)) + C = (4-x^2)^{\frac{3}{2}} (-\frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{x^2}{5}) + C = (4-x^2)^{\frac{3}{2}} (\frac{-20 + 12}{15} - \frac{x^2}{5}) + C = (4-x^2)^{\frac{3}{2}} (-\frac{8}{15} - \frac{x^2}{5}) + C = (4-x^2)^{\frac{3}{2}} (\frac{-8 - 3x^2}{15}) + C = -\frac{1}{15} (3x^2 + 8) (4-x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{15} (3x^2 + 8) (4-x^2)^{\frac{3}{2}} + C$