曲線 $C: y = x - x^3$ 上の点 $A(1, 0)$ における接線を $\ell$ とする。$C$ と $\ell$ の共有点のうち $A$ と異なる点を $B$ とする。また、$-2 < t < 1$ とし、$C$ 上の点 $P(t, t - t^3)$ をとる。三角形 $ABP$ の面積を $S(t)$ とする。 (1) 点 $B$ の座標を求めよ。 (2) $S(t)$ を求めよ。 (3) $t$ が $-2 < t < 1$ の範囲を動くとき、$S(t)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x - x^3$ 上の点 $A(1, 0)$ における接線を $\ell$ とする。$C$ と $\ell$ の共有点のうち $A$ と異なる点を $B$ とする。また、$-2 < t < 1$ とし、$C$ 上の点 $P(t, t - t^3)$ をとる。三角形 $ABP$ の面積を $S(t)$ とする。

(1) 点 $B$ の座標を求めよ。

(2) $S(t)$ を求めよ。

(3) $t$ が $-2 < t < 1$ の範囲を動くとき、$S(t)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、曲線 $C: y = x - x^3$ の点 $A(1, 0)$ における接線 $\ell$ の方程式を求める。$y' = 1 - 3x^2$ より、$x = 1$ のとき $y' = 1 - 3(1)^2 = -2$。したがって、接線 $\ell$ の方程式は $y - 0 = -2(x - 1)$ より $y = -2x + 2$。

次に、$C$ と $\ell$ の共有点を求める。$x - x^3 = -2x + 2$ より、$x^3 - 3x + 2 = 0$。これは $(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$ と変形でき、さらに $(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$、つまり $(x - 1)^2(x + 2) = 0$。したがって、$x = 1$ (重解) または $x = -2$。$A$ と異なる共有点 $B$ は $x = -2$ のときであり、$y = -2(-2) + 2 = 6$。よって、$B(-2, 6)$。

(2) $A(1, 0), B(-2, 6), P(t, t - t^3)$ を頂点とする三角形 $ABP$ の面積 $S(t)$ を求める。

$S(t) = \frac{1}{2} |(1(6 - (t - t^3)) + (-2)(t - t^3 - 0) + t(0 - 6))|$

$= \frac{1}{2} |6 - t + t^3 - 2t + 2t^3 - 6t|$

$= \frac{1}{2} |3t^3 - 9t + 6|$

$= \frac{3}{2} |t^3 - 3t + 2|$

$= \frac{3}{2} |(t - 1)^2(t + 2)|$

$-2 < t < 1$ のとき $t + 2 > 0$ かつ $(t - 1)^2 > 0$ なので、

$S(t) = \frac{3}{2} (t - 1)^2(t + 2) = \frac{3}{2} (t^2 - 2t + 1)(t + 2) = \frac{3}{2} (t^3 - 2t^2 + t + 2t^2 - 4t + 2) = \frac{3}{2} (t^3 - 3t + 2)$

(3) $S(t) = \frac{3}{2}(t^3 - 3t + 2)$ の $-2 < t < 1$ における最大値を求める。

$S'(t) = \frac{3}{2}(3t^2 - 3) = \frac{9}{2}(t^2 - 1) = \frac{9}{2}(t - 1)(t + 1)$。

$S'(t) = 0$ となるのは $t = 1$ または $t = -1$。$-2 < t < 1$ より、$t = -1$ を考慮する。

$t = -1$ のとき、$S(-1) = \frac{3}{2}((-1)^3 - 3(-1) + 2) = \frac{3}{2}(-1 + 3 + 2) = \frac{3}{2}(4) = 6$。

$t \to -2$ のとき、$S(t) \to \frac{3}{2}((-2)^3 - 3(-2) + 2) = \frac{3}{2}(-8 + 6 + 2) = 0$。

$t \to 1$ のとき、$S(t) \to \frac{3}{2}((1)^3 - 3(1) + 2) = \frac{3}{2}(1 - 3 + 2) = 0$。

$t = -1$ の前後で $S'(t)$ の符号は正から負に変わるので、$t = -1$ で極大かつ最大となる。

したがって、最大値は $6$。

3. 最終的な答え

(1) Bの座標: $(-2, 6)$

(2) $S(t)$: $\frac{3}{2}(t - 1)^2(t + 2)$

(3) $S(t)$ の最大値: $6$