与えられた関数 $f(x, y) = 0$ が、与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近くで陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 0$ が、与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近くで陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を求める問題です。

2. 解き方の手順

1) $f(x, y) = x - y^2, (x_0, y_0) = (1, 1)$ の場合

まず、$f(x_0, y_0) = 0$ であることを確認します。

$f(1, 1) = 1 - 1^2 = 0$ となり、条件を満たします。

次に、$\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = -2y$

点 $(1, 1)$ において、$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = -2(1) = -2 \neq 0$ であるので、陰関数定理より、$y = \varphi(x)$ が存在します。

接線の傾きは、$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ で与えられます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{-2y} = \frac{1}{2y}$

点 $(1, 1)$ における傾きは、$\frac{dy}{dx}(1, 1) = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$ となります。

接線の方程式は、

$y - y_0 = \frac{dy}{dx}(x - x_0)$

$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

2) $f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 4, (x_0, y_0) = (-1, 1)$ の場合

まず、$f(x_0, y_0) = 0$ であることを確認します。

$f(-1, 1) = (-1)^2 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ となり、条件を満たします。

次に、$\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6y$

点 $(-1, 1)$ において、$\frac{\partial f}{\partial y}(-1, 1) = 6(1) = 6 \neq 0$ であるので、陰関数定理より、$y = \varphi(x)$ が存在します。

接線の傾きは、$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ で与えられます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{6y} = -\frac{x}{3y}$

点 $(-1, 1)$ における傾きは、$\frac{dy}{dx}(-1, 1) = -\frac{-1}{3(1)} = \frac{1}{3}$ となります。

接線の方程式は、

$y - y_0 = \frac{dy}{dx}(x - x_0)$

$y - 1 = \frac{1}{3}(x - (-1))$

$y - 1 = \frac{1}{3}(x + 1)$

$y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

1) $f(x, y) = x - y^2, (x_0, y_0) = (1, 1)$ の場合、接線の方程式は $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

2) $f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 4, (x_0, y_0) = (-1, 1)$ の場合、接線の方程式は $y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$