与えられた定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ (2) $\int_0^2 \sqrt{x^2+5} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

(2) $\int_0^2 \sqrt{x^2+5} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{9-x^2}$ の形なので、$x = 3\sin\theta$ と置換します。

$dx = 3\cos\theta d\theta$

$9 - x^2 = 9 - 9\sin^2\theta = 9(1-\sin^2\theta) = 9\cos^2\theta$

$\sqrt{9-x^2} = 3\cos\theta$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{6}$

$x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので $\theta = \frac{\pi}{4}$

よって、

$\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{6}{3\cos\theta} 3\cos\theta d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 6 d\theta = [6\theta]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = 6(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = 6(\frac{3\pi - 2\pi}{12}) = 6(\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{2}$

(2)

公式19.1を使うことを考えると、

$\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2} + a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2})] + C$

今回は$a^2=5$なので、$a=\sqrt{5}$です。

$\int_0^2 \sqrt{x^2+5} dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+5} + 5\log(x+\sqrt{x^2+5})]_0^2$

$= \frac{1}{2}[2\sqrt{4+5} + 5\log(2+\sqrt{4+5}) - (0\sqrt{0+5} + 5\log(0+\sqrt{0+5}))]$

$= \frac{1}{2}[2\sqrt{9} + 5\log(2+\sqrt{9}) - 5\log(\sqrt{5})]$

$= \frac{1}{2}[2(3) + 5\log(2+3) - 5\log(\sqrt{5})]$

$= \frac{1}{2}[6 + 5\log(5) - 5\log(\sqrt{5})]$

$= \frac{1}{2}[6 + 5\log(5) - 5\log(5^{\frac{1}{2}})]$

$= \frac{1}{2}[6 + 5\log(5) - \frac{5}{2}\log(5)]$

$= \frac{1}{2}[6 + \frac{5}{2}\log(5)]$

$= 3 + \frac{5}{4}\log(5)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $3 + \frac{5}{4}\log(5)$