与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近くで、方程式 $f(x,y) = 0$ が陰関数 $y = \phi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を求める。ここでは、3) の $f(x,y) = x^{2/3} + y^{2/3} - 4$、$(x_0, y_0) = (3\sqrt{3}, 1)$ の場合を解く。

1. 問題の内容

与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近くで、方程式 $f(x,y) = 0$ が陰関数 $y = \phi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を求める。ここでは、3) の $f(x,y) = x^{2/3} + y^{2/3} - 4$、$(x_0, y_0) = (3\sqrt{3}, 1)$ の場合を解く。

2. 解き方の手順

陰関数定理より、$f(x_0, y_0) = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$ であれば、点 $(x_0, y_0)$ の近くで $y$ は $x$ の関数として表せる。

まず、$f(x_0, y_0) = 0$ であることを確認する。

$f(3\sqrt{3}, 1) = (3\sqrt{3})^{2/3} + 1^{2/3} - 4 = (3^3)^{1/3} + 1 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$ であるので、$f(x_0, y_0) = 0$ は成り立つ。

次に、$\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}y^{-1/3}$

したがって、$\frac{\partial f}{\partial y}(3\sqrt{3}, 1) = \frac{2}{3}(1)^{-1/3} = \frac{2}{3} \neq 0$ である。

よって、陰関数定理より、点 $(3\sqrt{3}, 1)$ の近くで $y$ は $x$ の関数として表せる。

次に、接線を求める。陰関数の微分は $\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}$ で与えられる。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2}{3}x^{-1/3}$

したがって、$\frac{\partial f}{\partial x}(3\sqrt{3}, 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3})^{-1/3} = \frac{2}{3}(3^{3/2})^{-1/3} = \frac{2}{3}(3^{-1/2}) = \frac{2}{3\sqrt{3}}$

$\frac{dy}{dx}(3\sqrt{3}, 1) = -\frac{\frac{2}{3\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

接線の方程式は $y - y_0 = m(x - x_0)$ で与えられる。ここで、$m = \frac{dy}{dx}(x_0, y_0)$。

したがって、接線の方程式は

$y - 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3\sqrt{3})$

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 3 + 1$

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 4$

3. 最終的な答え

点 $(3\sqrt{3}, 1)$ における接線は $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 4$ である。