与えられた定積分 $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、三角関数による置換積分を行う。$x = \sin\theta$ と置くと、$dx = \cos\theta d\theta$ となる。

積分の範囲も変換する必要がある。$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので $\theta = -\frac{\pi}{4}$ である。また、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので $\theta = \frac{\pi}{4}$ である。

$\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = |\cos\theta|$ となる。$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ の範囲では $\cos\theta \ge 0$ なので、$\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$ となる。

与えられた積分は次のように変換される。

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \cos\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta d\theta$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ なので、積分は

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2\theta)) d\theta$

$= \frac{1}{2} [\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2})) - (-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2}))]$

$= \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) - (-\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2})]$

$= \frac{1}{2} [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}]$

$= \frac{1}{2} [\frac{\pi}{2} - 1]$

$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$