問題は全部で4問あります。 * 問題1: 与えられた関数を微分する問題。関数は以下の4つです。 * a) $(2x+1)^2$ * b) $(x-1)^2(x+1)^2$ * c) $(x-\frac{1}{x})^2$ * d) $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ * 問題2: 関数 $f(x)$ が微分可能であるとき、次の関数を微分する問題。 * a) $f(2x+1)$ * b) $\{f(x)\}^3$ * c) $\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\}^2$ * 問題3: $n$ は自然数とする。関数 $f(x) = x^{\frac{1}{n}}$ を微分する問題。 * 問題4: 微分可能な関数 $f(x), g(x)$ に対して、$f'(x) = g'(x)$ であるとき、$f(x) = g(x) + C$（ただし、$C$ は定数）となることを示す問題。

1. 問題の内容

問題は全部で4問あります。

* 問題1: 与えられた関数を微分する問題。関数は以下の4つです。

* a) $(2x+1)^2$

* b) $(x-1)^2(x+1)^2$

* c) $(x-\frac{1}{x})^2$

* d) $\frac{x^2-1}{x^2+1}$

* 問題2: 関数 $f(x)$ が微分可能であるとき、次の関数を微分する問題。

* a) $f(2x+1)$

* b) $\{f(x)\}^3$

* c) $\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\}^2$

* 問題3: $n$ は自然数とする。関数 $f(x) = x^{\frac{1}{n}}$ を微分する問題。

* 問題4: 微分可能な関数 $f(x), g(x)$ に対して、$f'(x) = g'(x)$ であるとき、$f(x) = g(x) + C$（ただし、$C$ は定数）となることを示す問題。

2. 解き方の手順

問題1:

* a) $(2x+1)^2$ の微分: 合成関数の微分法を用いる。$u = 2x+1$ とおくと、$\frac{d}{dx} (2x+1)^2 = \frac{d}{du} u^2 \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 2 = 4(2x+1) = 8x + 4$

* b) $(x-1)^2(x+1)^2$ の微分: 積の微分法を用いる。$(x-1)^2(x+1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$。よって$\frac{d}{dx} ((x-1)^2(x+1)^2) = \frac{d}{dx} (x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x$

* c) $(x-\frac{1}{x})^2$ の微分: 合成関数の微分法を用いる。$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + x^{-2}$。よって、$\frac{d}{dx} (x-\frac{1}{x})^2 = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$

* d) $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ の微分: 商の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} \frac{x^2-1}{x^2+1} = \frac{(2x)(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

問題2:

* a) $f(2x+1)$ の微分: 合成関数の微分法を用いる。$\frac{d}{dx} f(2x+1) = f'(2x+1) \cdot 2 = 2f'(2x+1)$

* b) $\{f(x)\}^3$ の微分: 合成関数の微分法を用いる。$\frac{d}{dx} \{f(x)\}^3 = 3\{f(x)\}^2 \cdot f'(x) = 3\{f(x)\}^2 f'(x)$

* c) $\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\}^2$ の微分: 合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} \{f(x) - \frac{1}{f(x)}\}^2 = 2(f(x) - \frac{1}{f(x)}) (f'(x) + \frac{f'(x)}{(f(x))^2}) = 2(f(x) - \frac{1}{f(x)}) f'(x) (1 + \frac{1}{(f(x))^2})$

問題3:

$f(x) = x^{\frac{1}{n}}$ の微分:

$\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}$

問題4:

$f'(x) = g'(x)$ ならば $f(x) = g(x) + C$ を示す。

$h(x) = f(x) - g(x)$ とおく。このとき、$h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$ である。

$h'(x) = 0$ なので、$h(x)$ は定数である。したがって、$h(x) = C$ (定数) とおくことができる。

$f(x) - g(x) = C$ より、$f(x) = g(x) + C$ となる。

3. 最終的な答え

問題1:

* a) $8x + 4$

* b) $4x^3 - 4x$

* c) $2x - \frac{2}{x^3}$

* d) $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$

問題2:

* a) $2f'(2x+1)$

* b) $3\{f(x)\}^2 f'(x)$

* c) $2(f(x) - \frac{1}{f(x)}) f'(x) (1 + \frac{1}{(f(x))^2})$

問題3:

$\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}$

問題4:

証明完了