次の2つの微分方程式を解く問題です。 (1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^y}$ (2) $\frac{dy}{dx} = xy + 2x + y + 2$

1. 問題の内容

次の2つの微分方程式を解く問題です。

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = xy + 2x + y + 2$

2. 解き方の手順

(1) の微分方程式

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^y}$ は変数分離形の微分方程式です。

まず、両辺に $e^y$ をかけます。

$e^y \frac{dy}{dx} = x$

次に、両辺を $x$ で積分します。

$\int e^y dy = \int x dx$

$e^y = \frac{1}{2}x^2 + C$

したがって、$y = \ln(\frac{1}{2}x^2 + C)$ となります。

(2) の微分方程式

$\frac{dy}{dx} = xy + 2x + y + 2$ は変数分離形の微分方程式として解くことができます。

$\frac{dy}{dx} = x(y+2) + (y+2) = (x+1)(y+2)$

$\frac{dy}{y+2} = (x+1)dx$

両辺を積分すると

$\int \frac{dy}{y+2} = \int (x+1)dx$

$\ln|y+2| = \frac{1}{2}x^2 + x + C$

$y+2 = \pm e^{\frac{1}{2}x^2 + x + C} = \pm e^C e^{\frac{1}{2}x^2 + x}$

$y+2 = A e^{\frac{1}{2}x^2 + x}$, where $A = \pm e^C$

$y = A e^{\frac{1}{2}x^2 + x} - 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = \ln(\frac{1}{2}x^2 + C)$

(2) $y = A e^{\frac{1}{2}x^2 + x} - 2$ (ここで $A$ は任意定数)