次の3つの極限を、$x=0$ でのTaylor展開を利用して求める問題です。 1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x \cos x}{x^2}$ 2) $\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x^2) - \cos x}{x \sin x}$ 3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log(x+1)}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を、$x=0$ でのTaylor展開を利用して求める問題です。

1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x \cos x}{x^2}$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x^2) - \cos x}{x \sin x}$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log(x+1)}$

2. 解き方の手順

1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x \cos x}{x^2}$

$\sin x$ と $\cos x$ の Taylor 展開を $x=0$ の周りで求めると、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)$

これらを元の式に代入すると、

$(1+x)\sin x - x \cos x = (1+x)(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - x(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6))$

$= x - \frac{x^3}{6} + x^2 - \frac{x^4}{6} - x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^5)$

$= x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})x^3 + O(x^4)$

$= x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{1}{3}x + O(x^2)) = 1$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x^2) - \cos x}{x \sin x}$

$\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + O(x^3)$より、$\exp(x^2) = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\exp(x^2) - \cos x = (1 + x^2 + \frac{x^4}{2}) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) + O(x^6) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{24}x^4 + O(x^6)$

$x \sin x = x(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x^2) - \cos x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{24}x^4 + O(x^6)}{x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2} + \frac{11}{24}x^2 + O(x^4)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = \frac{3}{2}$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log(x+1)}$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log(x+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + O(x^3)} = 1$

3. 最終的な答え

1) 1

2) 3/2

3) 1