関数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ の、$x^2 + y^2 = 1$ という条件の下での極値点の候補と最大値、最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ の、$x^2 + y^2 = 1$ という条件の下での極値点の候補と最大値、最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法を用いて解きます。

(1) ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda)$ を定義します。

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(x^2 + y^2 - 1) = x^2 + 2xy + y^2 - \lambda(x^2 + y^2 - 1)$

(2) $L(x, y, \lambda)$ の偏導関数を求め、それらが0になるように連立方程式を立てます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + 2y - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 2x + 2y - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 - 1) = 0$

(3) 連立方程式を解きます。

最初の2つの式から

$2x + 2y - 2\lambda x = 0$

$2x + 2y - 2\lambda y = 0$

を引くと

$-2\lambda x + 2\lambda y = 0$

$2\lambda(y - x) = 0$

したがって、$\lambda = 0$ または $y = x$ となります。

- $\lambda = 0$ のとき:

$2x + 2y = 0$ なので $y = -x$ となります。

$x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 + (-x)^2 = 1$, $2x^2 = 1$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

このときの $f(x, y)$ の値は、$f(x, y) = (x+y)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$、 $f(x, y) = (-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$。

- $y = x$ のとき:

$x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 + x^2 = 1$, $2x^2 = 1$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。

$2x + 2y - 2\lambda x = 0$ に代入すると、$4x - 2\lambda x = 0$。

$x \neq 0$ なので、$2 - \lambda = 0$, $\lambda = 2$。

このときの $f(x, y)$ の値は、$f(x, y) = (x+y)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$、 $f(x, y) = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$。

(4) 極値の候補:

$(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$

(5) 最大値と最小値:

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$, $f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$, $f(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2$, $f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2$

したがって、最大値は2、最小値は0。

3. 最終的な答え

1. 極値点の候補: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

2. 最大値: 2, 最小値: 0