与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を利用して、以下の3つの広義積分を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$ (2) $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx$ (3) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2x^2} dx$ (ただし、$a > 0$)

1. 問題の内容

与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を利用して、以下の3つの広義積分を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$

(2) $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx$

(3) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2x^2} dx$ (ただし、$a > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$

まず、$x = t^2$ と置換します。すると、$dx = 2t dt$ となります。

積分範囲は $x: 0 \to \infty$ に対して $t: 0 \to \infty$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t^2}}{t} (2t dt) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt$

与えられた積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を用いると、

$2 \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}$

(2) $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx$

部分積分を用いて計算します。$u = x$, $dv = x e^{-x^2}dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{2}e^{-x^2}$ となります。

$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} x (x e^{-x^2}) dx = \left[ -\frac{x}{2} e^{-x^2} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{2}e^{-x^2} dx$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^2}} = 0$ なので、$\left[ -\frac{x}{2} e^{-x^2} \right]_{0}^{\infty} = 0 - 0 = 0$

よって、$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$

(3) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2x^2} dx$ ($a > 0$)

$t = ax$ と置換します。すると、$dt = a dx$ より $dx = \frac{1}{a} dt$ となります。

積分範囲は $x: -\infty \to \infty$ に対して $t: -\infty \to \infty$ となります。

したがって、$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \frac{1}{a} dt = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt$

$e^{-t^2}$は偶関数なので、$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}$

よって、$\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{1}{a} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{a}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{\pi}$

(2) $\frac{\sqrt{\pi}}{4}$

(3) $\frac{\sqrt{\pi}}{a}$