区分求積法の原理を用いて、次の極限値を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} (\frac{1^3}{n^4} + \frac{2^3}{n^4} + \frac{3^3}{n^4} + \dots + \frac{n^3}{n^4})$

1. 問題の内容

区分求積法の原理を用いて、次の極限値を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1^3}{n^4} + \frac{2^3}{n^4} + \frac{3^3}{n^4} + \dots + \frac{n^3}{n^4})$

2. 解き方の手順

与えられた数列の極限を区分求積法を用いて計算します。

まず、与えられた式を $\Sigma$ を用いて表します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{n^4}$

次に、$\frac{1}{n}$ をくくり出します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{n^3}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^3$

ここで、区分求積法の定義より、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ です。

したがって、与えられた極限は、以下の定積分で表されます。

$\int_{0}^{1} x^3 dx$

この定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$