与えられた積分 $\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であることを利用して積分を書き換えます。

$\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx = \int \tan^2 x \sec^2 x dx$

ここで、$t = \tan x$ と置換すると、$\frac{dt}{dx} = \sec^2 x$ となり、$dt = \sec^2 x dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \tan^2 x \sec^2 x dx = \int t^2 dt$

積分を実行します。

$\int t^2 dt = \frac{1}{3} t^3 + C$

ここで、$t = \tan x$ を代入して、元の変数に戻します。

$\frac{1}{3} t^3 + C = \frac{1}{3} \tan^3 x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \tan^3 x + C$