関数 $f(x, y) = e^{x^3 y}$、 $x(t) = \cos(t)$、 $y(t) = t^3$ が与えられています。合成関数 $F(t) = f(x(t), y(t))$ の導関数 $F'(t)$ を連鎖律を用いて求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = e^{x^3 y}$、 $x(t) = \cos(t)$、 $y(t) = t^3$ が与えられています。合成関数 $F(t) = f(x(t), y(t))$ の導関数 $F'(t)$ を連鎖律を用いて求めます。

2. 解き方の手順

まず、$F(t) = f(x(t), y(t))$ を計算します。

$F(t) = f(\cos(t), t^3) = e^{(\cos(t))^3 \cdot t^3} = e^{\cos^3(t) \cdot t^3}$

次に、$F(t)$ を $t$ で微分します。連鎖律を使うと、

$F'(t) = \frac{d}{dt} e^{\cos^3(t) \cdot t^3} = e^{\cos^3(t) \cdot t^3} \cdot \frac{d}{dt} (\cos^3(t) \cdot t^3)$

積の微分法則を使って $\frac{d}{dt} (\cos^3(t) \cdot t^3)$ を計算します。

$\frac{d}{dt} (\cos^3(t) \cdot t^3) = (\frac{d}{dt} \cos^3(t)) \cdot t^3 + \cos^3(t) \cdot (\frac{d}{dt} t^3)$

$\frac{d}{dt} \cos^3(t)$ を連鎖律を使って計算します。

$\frac{d}{dt} \cos^3(t) = 3 \cos^2(t) \cdot (-\sin(t)) = -3 \cos^2(t) \sin(t)$

$\frac{d}{dt} t^3 = 3t^2$

したがって、

$\frac{d}{dt} (\cos^3(t) \cdot t^3) = -3 \cos^2(t) \sin(t) \cdot t^3 + \cos^3(t) \cdot 3t^2 = -3 t^3 \cos^2(t) \sin(t) + 3t^2 \cos^3(t)$

したがって、

$F'(t) = e^{\cos^3(t) \cdot t^3} \cdot (-3 t^3 \cos^2(t) \sin(t) + 3t^2 \cos^3(t)) = 3t^2 \cos^2(t) e^{t^3 \cos^3(t)} (\cos(t) - t\sin(t))$

3. 最終的な答え

$F'(t) = 3t^2 \cos^2(t) e^{t^3 \cos^3(t)} (\cos(t) - t\sin(t))$