与えられた関数 $f(x)$ に対して、以下の操作を行います。 - $f(x)$ を微分し、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k = 0, 1, 2$) を求める。 - $x = 0$ における2次までのTaylor展開を、剰余項を $R_3$ で表して求める。 ただし、剰余項を具体的に求める必要はありません。

はい、承知いたしました。問題文にある関数を微分し、指定された条件でTaylor展開を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、以下の操作を行います。

- $f(x)$ を微分し、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k = 0, 1, 2$) を求める。

- $x = 0$ における2次までのTaylor展開を、剰余項を $R_3$ で表して求める。

ただし、剰余項を具体的に求める必要はありません。

2. 解き方の手順

以下、各関数について、上記の手順で解いていきます。

1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

- $f(0) = 1$

- $f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ より $f'(0) = -1$

- $f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$ より $f''(0) = 2$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = 1 - x + x^2 + R_3$

2) $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$

- $f(0) = 1$

- $f'(x) = -\frac{2}{(1+x)^3}$ より $f'(0) = -2$

- $f''(x) = \frac{6}{(1+x)^4}$ より $f''(0) = 6$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3) $f(x) = \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

- $f(0) = 1$

- $f'(x) = -\sin(2x)$ より $f'(0) = 0$

- $f''(x) = -2\cos(2x)$ より $f''(0) = -2$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = 1 - x^2 + R_3$

4) $f(x) = \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

- $f(0) = 0$

- $f'(x) = \sin(2x)$ より $f'(0) = 0$

- $f''(x) = 2\cos(2x)$ より $f''(0) = 2$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = x^2 + R_3$

5) $f(x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$

- $f(0) = 0$

- $f'(x) = 2\cos(2x)$ より $f'(0) = 2$

- $f''(x) = -4\sin(2x)$ より $f''(0) = 0$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = 2x + R_3$

6) $f(x) = \log(1+x)$

- $f(0) = 0$

- $f'(x) = \frac{1}{1+x}$ より $f'(0) = 1$

- $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ より $f''(0) = -1$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + R_3$

7) $f(x) = (x+1)\log(1+x)$

- $f(0) = 0$

- $f'(x) = \log(1+x) + \frac{x+1}{1+x} = \log(1+x) + 1$ より $f'(0) = 1$

- $f''(x) = \frac{1}{1+x}$ より $f''(0) = 1$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = x + \frac{x^2}{2} + R_3$

8) $f(x) = x e^x$

- $f(0) = 0$

- $f'(x) = e^x + xe^x$ より $f'(0) = 1$

- $f''(x) = e^x + e^x + xe^x = 2e^x + xe^x$ より $f''(0) = 2$

Taylor展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = x + x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

1) $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + R_3$

2) $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3) $\cos^2 x = 1 - x^2 + R_3$

4) $\sin^2 x = x^2 + R_3$

5) $2\sin x \cos x = 2x + R_3$

6) $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + R_3$

7) $(x+1)\log(1+x) = x + \frac{x^2}{2} + R_3$

8) $x e^x = x + x^2 + R_3$