関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ の $x=0$ における微分係数 $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ を求め、2次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ を用いて表します。

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ について、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0,1,2$) を求め、2次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ の $x=0$ における微分係数 $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ を求め、2次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分します。

$f(x) = (1+x)^{-2}$

$f'(x) = -2(1+x)^{-3}$

$f''(x) = 6(1+x)^{-4}$

次に、各微分係数を $x=0$ で評価します。

$f(0) = (1+0)^{-2} = 1$

$f'(0) = -2(1+0)^{-3} = -2$

$f''(0) = 6(1+0)^{-4} = 6$

2次までのテイラー展開は、以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

上記で求めた微分係数を代入すると、

$f(x) = 1 - 2x + \frac{6}{2}x^2 + R_3 = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

$f(0) = 1$

$f'(0) = -2$

$f''(0) = 6$

2次までのテイラー展開は

$1 - 2x + 3x^2 + R_3$