関数 $f(x, y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{x+y})$ が与えられています。この関数について、具体的に何を求めるべきかは問題文には記載されていません。しかし、典型的な問題として、偏微分を求めることを想定して解答します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{x+y})$ が与えられています。この関数について、具体的に何を求めるべきかは問題文には記載されていません。しかし、典型的な問題として、偏微分を求めることを想定して解答します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x,y)$を$x$で偏微分することを考えます。

合成関数の微分を利用します。$\tan^{-1} u$の微分は$\frac{1}{1+u^2}$で、$u=\frac{x-y}{x+y}$です。

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+(\frac{x-y}{x+y})^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x-y}{x+y})$

ここで、$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x-y}{x+y})$を計算します。商の微分公式を使います。

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x-y}{x+y}) = \frac{(x+y)(1) - (x-y)(1)}{(x+y)^2} = \frac{x+y - x+y}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}$

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+(\frac{x-y}{x+y})^2} \cdot \frac{2y}{(x+y)^2} = \frac{1}{\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x+y)^2}} \cdot \frac{2y}{(x+y)^2} = \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+(x-y)^2} \cdot \frac{2y}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2+(x-y)^2}$

$(x+y)^2+(x-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2+y^2)$

ゆえに、

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2y}{2(x^2+y^2)} = \frac{y}{x^2+y^2}$

同様に、$f(x,y)$を$y$で偏微分することを考えます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+(\frac{x-y}{x+y})^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x-y}{x+y})$

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{x-y}{x+y}) = \frac{(x+y)(-1) - (x-y)(1)}{(x+y)^2} = \frac{-x-y - x+y}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2}$

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+(\frac{x-y}{x+y})^2} \cdot \frac{-2x}{(x+y)^2} = \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+(x-y)^2} \cdot \frac{-2x}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2+(x-y)^2}$

ゆえに、

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2x}{2(x^2+y^2)} = \frac{-x}{x^2+y^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-x}{x^2+y^2}$