問題は、関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ を微分し、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k = 0, 1, 2$) を求め、2次までの $x=0$ でのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表すことです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ を微分し、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k = 0, 1, 2$) を求め、2次までの $x=0$ でのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表すことです。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分します。

$f(x) = (1+x)^{-2}$

1階微分:

$f'(x) = -2(1+x)^{-3}$

2階微分:

$f''(x) = 6(1+x)^{-4}$

次に、微分係数 $f^{(k)}(0)$ を計算します。

$f(0) = (1+0)^{-2} = 1$

$f'(0) = -2(1+0)^{-3} = -2$

$f''(0) = 6(1+0)^{-4} = 6$

テイラー展開は次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

上記で求めた値を代入します。

$f(x) = 1 - 2x + \frac{6}{2}x^2 + R_3$

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

$f(0) = 1$

$f'(0) = -2$

$f''(0) = 6$

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$