曲線 $y = \log x$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 曲線上の点 $(e, 1)$ における接線の方程式を求め、$y = \frac{\fbox{1}}{\fbox{2}}x$ の形式で答えます。ただし、$\fbox{1}$ と $\fbox{2}$ は約分できないものとします。 (2) この曲線と接線 $l$、及び直線 $x = 1$ によって囲まれる部分の面積を求め、$\int_{\fbox{1}/\fbox{2}}^1 x - \log x dx = \frac{\fbox{5}}{2e}$ の形式で答えます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 曲線上の点 $(e, 1)$ における接線の方程式を求め、$y = \frac{\fbox{1}}{\fbox{2}}x$ の形式で答えます。ただし、$\fbox{1}$ と $\fbox{2}$ は約分できないものとします。

(2) この曲線と接線 $l$、及び直線 $x = 1$ によって囲まれる部分の面積を求め、$\int_{\fbox{1}/\fbox{2}}^1 x - \log x dx = \frac{\fbox{5}}{2e}$ の形式で答えます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y = \log x$ を微分して、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

次に、点 $(e, 1)$ における接線の傾きを求めます。$x = e$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=e} = \frac{1}{e}$

したがって、接線の方程式は、点 $(e, 1)$ を通り、傾きが $\frac{1}{e}$ の直線なので、

$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$

$y = \frac{1}{e}x - 1 + 1$

$y = \frac{1}{e}x$

よって、$\fbox{1} = 1$、$\fbox{2} = e$ です。

(2) 曲線 $y = \log x$ と接線 $l: y = \frac{1}{e}x$ と直線 $x = 1$ で囲まれる部分の面積は、積分で求められます。

積分範囲は、$x$ が $\log x = \frac{1}{e}x$ を満たす点から $x = 1$ までです。$\log x = \frac{1}{e}x$ を満たす $x$ は $x=e$ です。したがって、$l$ と $y=\log x$ の交点は$x=e$です。そして、$x=1$と$y=\log x$の交点は$(1, 0)$であり、 $x=1$と$l$の交点は$(1, \frac{1}{e})$です。したがって、$y = \log x$ と $y = \frac{1}{e}x$ の大小関係を調べると、$x = 1$ において $\log 1 = 0$、$\frac{1}{e}(1) = \frac{1}{e}$ より、$\frac{1}{e}x > \log x$ であることが分かります。

よって求める面積は、

$\int_1^e (\frac{1}{e} x - \log x) \,dx$

となります。$\fbox{1} = 1$、$\fbox{2} = e$ です。部分積分を使って、$\int \log x \,dx = x \log x - x + C$ であることを用います。

$\int_1^e (\frac{1}{e}x - \log x) dx = [\frac{1}{2e}x^2 - x \log x + x]_1^e$

$= (\frac{1}{2e}e^2 - e \log e + e) - (\frac{1}{2e} - 1 \log 1 + 1)$

$= \frac{e}{2} - e + e - \frac{1}{2e} - 1$

$= \frac{e}{2} - \frac{1}{2e} - 1$

$= \frac{e^2 - 1 - 2e}{2e}$

$= \frac{e^2 - 2e - 1}{2e}$

したがって、$\fbox{5} = e^2 - 2e - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{e}x$

(2) $\frac{e^2 - 2e - 1}{2e}$