関数 $f(x)$ が与えられたとき、以下のことを行う。 (1) $f(x)$ を微分して、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k = 0, 1, 2$) を求める。 (2) $x = 0$ での2次までのテイラー展開を求める。剰余項は $R_3$ で表す。 ここでは、8番目の関数 $f(x) = x\exp(x)$ について解く。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられたとき、以下のことを行う。

(1) $f(x)$ を微分して、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k = 0, 1, 2$) を求める。

(2) $x = 0$ での2次までのテイラー展開を求める。剰余項は $R_3$ で表す。

ここでは、8番目の関数 $f(x) = x\exp(x)$ について解く。

2. 解き方の手順

(1) 微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k = 0, 1, 2$) を求める。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f(x) = xe^x$

$f'(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$f''(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$f'''(x) = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x$

次に、$x = 0$ における微分係数を計算する。

$f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$

$f'(0) = (0+1)e^0 = 1$

$f''(0) = (0+2)e^0 = 2$

(2) $x = 0$ での2次までのテイラー展開を求める。

テイラー展開は以下の式で表される。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

求めた微分係数を代入する。

$f(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{2}{2}x^2 + R_3$

$f(x) = x + x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = 2$

$f(x) = x + x^2 + R_3$