定積分 $\int_{0}^{\pi} |\sin x - \sqrt{3} \cos x| dx$ の値を求める。

解析学定積分三角関数絶対値積分
2025/7/9

1. 問題の内容

定積分 0πsinx3cosxdx\int_{0}^{\pi} |\sin x - \sqrt{3} \cos x| dx の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 sinx3cosx\sin x - \sqrt{3} \cos x を合成します。
sinx3cosx=2(12sinx32cosx)=2(sinxcosπ3cosxsinπ3)=2sin(xπ3)\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 2\sin(x - \frac{\pi}{3}).
したがって、積分は
0π2sin(xπ3)dx=20πsin(xπ3)dx\int_{0}^{\pi} |2\sin(x - \frac{\pi}{3})| dx = 2\int_{0}^{\pi} |\sin(x - \frac{\pi}{3})| dx.
次に、sin(xπ3)|\sin(x - \frac{\pi}{3})| の符号を調べます。
sin(xπ3)=0\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 となるのは、xπ3=0,πx - \frac{\pi}{3} = 0, \pi より、x=π3,4π3x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}
積分区間 [0,π][0, \pi] において、sin(xπ3)\sin(x - \frac{\pi}{3})0xπ30 \le x \le \frac{\pi}{3} で負、π3xπ \frac{\pi}{3} \le x \le \pi で正です。
したがって、
20πsin(xπ3)dx=2[0π3sin(xπ3)dx+π3πsin(xπ3)dx]2\int_{0}^{\pi} |\sin(x - \frac{\pi}{3})| dx = 2\left[ -\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx \right]
=2[cos(xπ3)0π3cos(xπ3)π3π]= 2\left[ \cos(x - \frac{\pi}{3}) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \cos(x - \frac{\pi}{3}) \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \right]
=2[(cos0cos(π3))(cos(2π3)cos0)]= 2\left[ (\cos 0 - \cos(-\frac{\pi}{3})) - (\cos(\frac{2\pi}{3}) - \cos 0) \right]
=2[(112)(121)]= 2\left[ (1 - \frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2} - 1) \right]
=2[12(32)]=2[12+32]=242=4= 2\left[ \frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}) \right] = 2\left[ \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \right] = 2 \cdot \frac{4}{2} = 4.

3. 最終的な答え

4

「解析学」の関連問題

与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$ (2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx...

定積分指数関数積分計算
2025/7/9

関数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ の、$x^2 + y^2 = 1$ という条件の下での極値点の候補と最大値、最小値を求める問題です。

極値多変数関数ラグランジュの未定乗数法最大値最小値
2025/7/9

与えられた定積分 $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算する。

定積分置換積分三角関数積分計算
2025/7/9

次の3つの極限を、$x=0$ でのTaylor展開を利用して求める問題です。 1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x \cos x}{x^2}$ 2) $\l...

極限テイラー展開関数
2025/7/9

与えられた広義積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を利用して、以下の3つの広義積分を求める問題です。 (1) $\int...

積分広義積分置換積分部分積分偶関数
2025/7/9

次の2つの微分方程式を解く問題です。 (1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^y}$ (2) $\frac{dy}{dx} = xy + 2x + y + 2$

微分方程式変数分離形積分
2025/7/9

問題は全部で4問あります。 * 問題1: 与えられた関数を微分する問題。関数は以下の4つです。 * a) $(2x+1)^2$ * b) $(x-1)^2(x+1)^2$ ...

微分合成関数の微分積の微分商の微分導関数
2025/7/9

与えられた5つの定積分の問題を解きます。 [1] $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} dx$ [2] $\int_{0}^{1} |(x-4)(x-1)^3| dx$ ...

定積分置換積分部分積分三角関数
2025/7/9

区分求積法の原理を用いて、次の極限値を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} (\frac{1^3}{n^4} + \frac{2^3}{n^4} + \frac{3^3}{n^4...

極限区分求積法定積分
2025/7/9

与えられた関数 $y$ について、その導関数 $y'$ を求める問題です。具体的には、多項式の関数について微分を行う必要があります。

微分導関数多項式
2025/7/9