$\int \frac{dx}{\cos^2(3x+4)}$を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{\cos^2(3x+4)}$を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\cos^2(3x+4)$ は、$1/\cos^2(3x+4) = \sec^2(3x+4)$ と書き換えられます。

したがって、与えられた積分は

$$\int \frac{dx}{\cos^2(3x+4)} = \int \sec^2(3x+4) dx$$

と書き換えられます。

ここで、$u = 3x+4$ と置換すると、$du = 3 dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

よって、

$$\int \sec^2(3x+4) dx = \int \sec^2(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sec^2(u) du$$

$\sec^2(u)$ の原始関数は $\tan(u)$ なので、

$$\frac{1}{3} \int \sec^2(u) du = \frac{1}{3} \tan(u) + C$$

ここで、$u = 3x+4$ を代入して、

$$\frac{1}{3} \tan(u) + C = \frac{1}{3} \tan(3x+4) + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{3} \tan(3x+4) + C$$