$1 \le x \le 4$ のとき、関数 $y = 2 (\log_2 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{4}} (2x) + \log_2 64$ の最大値、最小値、および最小値を取る $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 4$ のとき、関数 $y = 2 (\log_2 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{4}} (2x) + \log_2 64$ の最大値、最小値、および最小値を取る $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を整理します。

$\log_{\frac{1}{4}} (2x) = \frac{\log_2 (2x)}{\log_2 (\frac{1}{4})} = \frac{\log_2 2 + \log_2 x}{-2} = -\frac{1}{2} (1 + \log_2 x)$

$\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$

したがって、

$y = 2 (\log_2 x)^2 + 4 (-\frac{1}{2} (1 + \log_2 x)) + 6$

$y = 2 (\log_2 x)^2 - 2 (1 + \log_2 x) + 6$

$y = 2 (\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x - 2 + 6$

$y = 2 (\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x + 4$

$t = \log_2 x$ とおくと、$1 \le x \le 4$ より、$\log_2 1 \le \log_2 x \le \log_2 4$ なので、$0 \le t \le 2$ となります。

$y = 2t^2 - 2t + 4$

$y = 2(t^2 - t) + 4$

$y = 2(t - \frac{1}{2})^2 - 2 (\frac{1}{4}) + 4$

$y = 2(t - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 4$

$y = 2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2}$

これは $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{7}{2}$ をとります。

$t = 0$ または $t=2$ のとき、$y$ は最大値をとります。

$t=0$ のとき $y = 2(0 - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2} = 2 (\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t=2$ のとき $y = 2(2 - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2} = 2 (\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2} = 2(\frac{9}{4}) + \frac{7}{2} = \frac{9}{2} + \frac{7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

よって、最大値は $8$ ($t=2$) で、$x = 2^2 = 4$ のときです。

最小値は $\frac{7}{2}$ ($t=\frac{1}{2}$) で、$x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ のときです。

3. 最終的な答え

最大値: 8

x = $\sqrt{2}$ のとき、最小値: $\frac{7}{2}$